Assinale a alternativa INCORRETA:
a) Se A e B são matrizes simétricas de ordem n, então A+B também é simétrica.
b) Se A e B são matrizes de ordem n e inversiveis, então (A B)^{-1}=B^{-1} \cdot A^{-1}.
c) Se A é uma matriz quadrada de ordem 3 e o determinante de A é igual a 4 , entăo o determinante de 2 A é igual a 32.
(d) Se A e B são matrizes de ordem n , então (A+B)^{2}=A^{2}+2 A B+\mathrm{B}^{2}.
e) Se \left|\begin{array}{lll}a & b & c \\\ x & y & z \\\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|=5 e \left|\begin{array}{ccc}m & n & p \\\ x & y & z \\\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|=3, então \left|\begin{array}{ccc}a+m+1 & b+n+1 & c+p+1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 2 x & 2 y & 2 z\end{array}\right|=-16
Passo 1
O enunciado pede para identificar a única alternativa incorreta entre várias propriedades de matrizes: simetria, inversão de produto, escala de determinante, expansão de binômio matricial e cálculo de determinante por soma de linhas. Vamos checar cada propriedade usando teoria de matrizes (simetria, inversibilidade, determinante, não comutatividade e multilinearidade do determinante).
Passo 2
Analisando a alternativa (a): “Se A e B são matrizes simétricas de ordem n, então A+B também é simétrica.”
Uma matriz M é simétrica se M^T=M. Então
(A+B)^T = A^T + B^T = A + B
já que A^T=A e B^T=B. Logo (a) é verdadeira.
Passo 3
Analisando a alternativa (b): “Se A e B são matrizes de ordem n e inversíveis, então (A B)^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}.”
Pela propriedade de inversão de produto, de fato
(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1}=A I A^{-1}=I
e similarmente à direita. Logo (b) é verdadeira.
Passo 4
Analisando a alternativa (c): “Se A é uma matriz quadrada de ordem 3 e \det(A)=4, então o determinante de 2A é igual a 32.”
Para escala em matriz n\times n, \det(kA)=k^n\det(A). Aqui n=3 e k=2, então
\det(2A)=2^3\det(A)=8\cdot4=32.
Portanto (c) é verdadeira.
Passo 5
Analisando a alternativa (d): “Se A e B são matrizes de ordem n, então (A+B)^{2}=A^{2}+2AB+B^{2}.”
Na verdade
(A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2.
Só pode ser escrito como A^2+2AB+B^2 se AB=BA, ou seja, se A e B comutam. Como em geral matrizes não comutam, (d) é falsa.