Em cada caso abaixo, está definida uma operação * sobre E. Pede-se: fazer a tábua da operação, verificar se é comutativa, e se existe elemento neutro, determinar
e
. (Observação:
o conjunto dos elementos regulares de E pela operação *, e
o conjunto dos elementos simetrizáveis de E pela operação *.
e x * y=mdc(x ; y)
Passo 1
Temos o conjunto
com a operação
Precisamos (i) montar a tábua de
, (ii) verificar se é comutativa, (iii) achar o elemento neutro, (iv) determinar
(elementos invertíveis) e
(elementos regulares).
Passo 2
Construindo a tábua de
, isto é, calculando
para todo par
:
Passo 3
Como
para todo
, a tábua é simétrica. Logo, a operação é comutativa.
Passo 4
Procuramos
tal que
Isso exige que
seja múltiplo de todos os elementos de
. O menor elemento em
com essa propriedade é
, pois
,
,
,
.
Portanto, o elemento neutro é .
Portanto, o elemento neutro é
Passo 5
Um elemento
é invertível se existe
tal que
Isto é,
. Como
, só pode ocorrer para
.
Logo
Logo
Passo 6
Um elemento
é regular se de
segue
.
Na tábua, apenas para temos
, e daí a igualdade dos gcds implica
.
Para ocorrem empates de valores. Portanto
Na tábua, apenas para
Para
Resposta
A tábua de
é
A operação é comutativa.
O elemento neutro é .
.
.
O elemento neutro é