Em cada caso abaixo, está definida uma operação * sobre E. Pede-se: fazer a tábua da operação, verificar se é comutativa, e se existe elemento neutro, determinar U_{*}(E) e R_{*}(E). (Observação: R_{*}(E) o conjunto dos elementos regulares de E pela operação *, e \mathrm{U}_{*}(\mathrm{E}) o conjunto dos elementos simetrizáveis de E pela operação *.
\mathrm{E}={1 ; 2 ; 3 ; 6} e x * y=mdc(x ; y)

Passo 1

Temos o conjunto
E=\{1,2,3,6\}
com a operação
x*y = \gcd(x,y)\,.
Precisamos (i) montar a tábua de *, (ii) verificar se é comutativa, (iii) achar o elemento neutro, (iv) determinar \mathrm{U}_*(E) (elementos invertíveis) e \mathrm{R}_*(E) (elementos regulares).

Passo 2

Construindo a tábua de *, isto é, calculando \gcd(x,y) para todo par (x,y)\in E\times E:
\begin{array}{c|cccc} * & 1 & 2 & 3 & 6 \\\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 1 & 2 & 1 & 2 \\\\ 3 & 1 & 1 & 3 & 3 \\\\ 6 & 1 & 2 & 3 & 6 \end{array}

Passo 3

Como \gcd(x,y)=\gcd(y,x) para todo x,y, a tábua é simétrica. Logo, a operação é comutativa.

Passo 4

Procuramos e\in E tal que
\gcd(e,x)=x\quad\forall\,x\in E.
Isso exige que e seja múltiplo de todos os elementos de E. O menor elemento em E com essa propriedade é 6, pois \gcd(6,1)=1, \gcd(6,2)=2, \gcd(6,3)=3, \gcd(6,6)=6.
Portanto, o elemento neutro é 6.

Passo 5

Um elemento x\in E é invertível se existe y\in E tal que
x*y = 6.
Isto é, \gcd(x,y)=6. Como \gcd(x,y)\le \min(x,y), só pode ocorrer para x=y=6.
Logo
\mathrm{U}_*(E)=\{6\}.

Passo 6

Um elemento a\in E é regular se de \gcd(a,x)=\gcd(a,y) segue x=y.
Na tábua, apenas para a=6 temos \gcd(6,x)=x, e daí a igualdade dos gcds implica x=y.
Para a\in\{1,2,3\} ocorrem empates de valores. Portanto
\mathrm{R}_*(E)=\{6\}.

Resposta

A tábua de * é
\begin{array}{c|cccc} * & 1 & 2 & 3 & 6 \\\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 1 & 2 & 1 & 2 \\\\ 3 & 1 & 1 & 3 & 3 \\\\ 6 & 1 & 2 & 3 & 6 \end{array}
A operação é comutativa.
O elemento neutro é 6. \mathrm{U}_*(E)=\{6\}. \mathrm{R}_*(E)=\{6\}.

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