Dê o somatório dos itens verdadeiros:
(1) O algarismo das unidades de 0!+1!+2!+3!+4!+5!+6!+\ldots+2015 ! é igual a 2016!.
(4) \ln \sqrt[5]{e^{3}}+\left(\log _{5} 3\right)\left(\log _{9} 25\right) é um número racional.

Passo 1

O enunciado apresenta dois itens e pede para somar os números dos itens que forem verdadeiros. O conteúdo envolvido é:
  1. Dígito das unidades em somatório de fatorial (item 1).
  2. Propriedades de logaritmo e logaritmo natural (item 4).

Passo 2

Analisando o item 1: “O algarismo das unidades de \sum_{k=0}^{2015}k! é igual ao algarismo das unidades de 2016!.”
Para k\ge5, k! termina em zero, logo
\sum_{k=0}^{2015}k! =\;0!+1!+2!+3!+4!+\sum_{k=5}^{2015}k! =1+1+2+6+24+0 =34,
cujo dígito das unidades é 4.
2016!, como 2016\ge5, termina em 0.
Portanto, 4\neq0 e o item 1 é falso.

Passo 3

Analisando o item 4:
\ln\sqrt[5]{e^{3}}+\bigl(\log_{5}3\bigr)\bigl(\log_{9}25\bigr).
Temos
\ln\sqrt[5]{e^{3}} =\ln\bigl(e^{3/5}\bigr) =\tfrac{3}{5},
e
\log_{9}25 =\frac{\ln25}{\ln9} =\frac{2\ln5}{2\ln3} =\frac{\ln5}{\ln3} =\log_{3}5.
Assim,
(\log_{5}3)(\log_{9}25) =(\log_{5}3)(\log_{3}5) =1
por \log_{a}b\cdot\log_{b}a=1. Logo o valor total é
\tfrac{3}{5}+1=\tfrac{8}{5},
que é racional. Então o item 4 é verdadeiro.

Resposta

4

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