Calcular
\int x^{3} \sqrt{x^{4}+4} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x^{3}\sqrt{x^{4}+4}\,dx
Este é um problema de integração por substituição, já que dentro da raiz aparece x^4+4 cuja derivada é proporcional a x^3.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = x^{4}+4.
Então sua diferencial é
du = 4x^{3}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{3}\,dx = \frac{du}{4}.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int x^{3}\sqrt{x^{4}+4}\,dx = \int \sqrt{u}\,\frac{du}{4} = \frac{1}{4}\int u^{\tfrac12}\,du.
Agora basta integrar a potência de u.

Passo 4

Calculando a integral em u:
\frac{1}{4}\int u^{\tfrac12}\,du = \frac{1}{4}\cdot \frac{u^{\tfrac32}}{\tfrac32} = \frac{1}{4}\cdot \frac{2}{3}\,u^{\tfrac32} = \frac{1}{6}\,u^{\tfrac32}.
Voltando à variável x, substituímos u = x^{4}+4.

Resposta

\int x^{3}\sqrt{x^{4}+4}\,dx = \frac{\bigl(x^{4}+4\bigr)^{\tfrac32}}{6} + C.

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