Assinale a alternativa que representa o valor numérico da integral dada por integral0^pi 2 x cos (x) d x
a) 4
b) 2
c) 0
d) - 2
e) -4

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral definida de 2x cos(x) de 0 a pi. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essa técnica para integrar o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a integração por partes. É uma técnica que usamos quando a integral é o produto de duas funções que não são fáceis de integrar diretamente. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, escolhemos partes da nossa função para ser u e dv.

Passo 3

No nosso caso, temos 2x cos(x). Vamos escolher:
u = 2x e dv = cos(x) dx
Agora, precisamos encontrar du e v:
du = 2 dx (derivada de $u$) v = integral cos(x) dx = sin(x) (integral de $dv$)

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral0^pi 2x cos(x) dx = [ u v ]0^pi - integral0^pi v , du
Substituindo u, v, du:
= [ 2x sin(x) ]0^pi - integral0^pi sin(x) cdot 2 dx

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
Primeiro, [ 2x sin(x) ]0^pi:
2pi sin(pi) - 2 cdot 0 cdot sin(0) = 2pi cdot 0 - 0 = 0
Agora, a segunda integral: - integral0^pi 2 sin(x) dx:
-2 integral0^pi sin(x) dx = -2 [ -cos(x) ]0^pi = -2 ( -cos(pi) + cos(0) )
Sabemos que cos(pi) = -1 e cos(0) = 1, então:
-2 ( -(-1) + 1 ) = -2 (1 + 1) = -2 cdot 2 = -4

Resposta

A alternativa correta é e) -4.

Exercícios relacionados