Seja f: R R.
Enuncie duas definições:
  • f é contínua.

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente enunciar duas definições de quando uma função f: R R é contínua. Então, o assunto aqui é continuidade de funções na matemática, mais especificamente em análise. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e como podemos expressar isso de duas maneiras diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função f é contínua em um ponto c se o limite de f(x) quando x se aproxima de c é igual a f(c) . Isso quer dizer que não há “saltos” ou “quebras” no gráfico da função naquele ponto específico.

Passo 3

Com base nisso, a primeira definição de continuidade de f pode ser escrita assim:
limx to c f(x) = f(c)
Essa equação diz que, para todo ponto c no domínio da função, o valor que f(x) se aproxima conforme x chega perto de c é exatamente f(c) .

Passo 4

Agora, vamos para a segunda definição. Ela usa a ideia de varepsilon (epsilon) e de<a (delta), que são símbolos usados para definir a precisão com que queremos que a função se comporte perto de c . A definição diz que para qualquer varepsilon > 0 , por menor que seja, conseguimos encontrar um de<a > 0 tal que se x estiver dentro de de<a de c , então f(x) estará dentro de varepsilon de f(c) .

Passo 5

Então, a segunda definição de continuidade de f é:
Para todo varepsilon > 0 , existe um de<a > 0 tal que, se |x - c| < de<a , então |f(x) - f(c)| < varepsilon .

Resposta

As duas definições de que f é contínua são:
limx to c f(x) = f(c)
  1. Para todo varepsilon > 0 , existe um de<a > 0 tal que, se |x - c| < de<a , então |f(x) - f(c)| < varepsilon .

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