Assinale alternativa(s) corretas, em relação a seguinte função:
A função é contínua no ponto (0,0)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem uma função f(x, y) definida de duas formas diferentes: uma para quando (x, y) não é (0,0) e outra quando é exatamente (0,0). A pergunta é: será que essa função é contínua no ponto (0,0)? Para responder isso, vamos precisar entender os conceitos de limite e continuidade em funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite da função nesse ponto é igual ao próprio valor da função nesse ponto. No nosso caso, queremos saber se:
lim(x,y) to (0,0) f(x,y) = f(0,0)
Sabemos que f(0,0) = 0 , então precisamos verificar se o limite da função quando (x, y) se aproxima de (0,0) também é 0.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a fórmula da função quando (x, y) neq (0,0):
f(x, y) = exp(x^3 - y^yx^2 + y^j)
Parece que há um pequeno erro na expressão com os expoentes de y . Provavelmente, deveria ser y^2 em vez de y^y e y^j . Vamos assumir que a função correta é:
f(x, y) = exp(x^3 - y^2x^2 + y^2)
Passo 4
Para encontrar o limite, consideramos:
lim(x,y) to (0,0) exp(x^3 - y^2x^2 + y^2)
Como a função exponencial ( exp ) é contínua, podemos trocar o limite com a exponencial:
exp(lim(x,y) to (0,0) x^3 - y^2x^2 + y^2)
Então, nosso foco agora é calcular:
lim(x,y) to (0,0) x^3 - y^2x^2 + y^2
Passo 5
Vamos analisar esse limite. Uma das maneiras de fazer isso é verificar se o limite é o mesmo quando nos aproximamos de (0,0) por diferentes caminhos. Se o limite depender do caminho escolhido, então o limite geral não existe.
Passo 6
Primeiro caminho: Alcançar (0,0) ao longo do eixo x, ou seja, y = 0 .
Substituindo na função:
x^3 - 0x^2 + 0 = x^3x^2 = x
Quando x se aproxima de 0, esse limite é 0.
Passo 7
Segundo caminho: Alcançar (0,0) ao longo do eixo y, ou seja, x = 0 .
Substituindo na função:
0 - y^20 + y^2 = -y^2y^2 = -1
Aqui, o limite é -1 quando y se aproxima de 0.
Passo 8
Como obtivemos limites diferentes ao seguir caminhos distintos (0 e -1), isso significa que o limite geral:
lim(x,y) to (0,0) x^3 - y^2x^2 + y^2
não existe.
Passo 9
Dado que o limite dentro da função exponencial não existe, podemos concluir que:
lim(x,y) to (0,0) f(x,y)
não existe. E, como f(0,0) = 0 , a função não é contínua no ponto (0,0).