1. Mostre que dd x ln raiz1-cos x1+cos x=cossec x.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
dd xlnraiz1-cos x1+cos x=csc x
O conteúdo necessário é derivada de funções compostas (regra da cadeia), derivada de logaritmo e derivadas de funções trigonométricas, além de usar identidades algébricas e trigonométricas para simplificar.

Passo 2

Primeiro reescrevemos a expressão usando propriedades de logaritmo:
lnraiz1-cos x1+cos x =12ln!l(1-cos x1+cos xr) =12l[ln(1-cos x)-ln(1+cos x)r]
Chamemos
f(x)=12l[ln(1-cos x)-ln(1+cos x)r]

Passo 3

Aplicamos a derivada em f(x) usando a regra da cadeia e tfracddxln u = u'/u:
f'(x) =12gl[ddxln(1-cos x);-;ddxln(1+cos x)gr] =12gl[sin x1-cos x--sin x1+cos xgr]

Passo 4

Colocamos em evidência sin x e somamos as frações:
f'(x) =12,sin xl(11-cos x+11+cos xr) =12,sin x;(1+cos x)+(1-cos x)(1-cos x)(1+cos x)
Como (1+cos x)+(1-cos x)=2 e (1-cos x)(1+cos x)=1-cos^2 x, segue
f'(x) =12,sin x;21-cos^2 x =sin x1-cos^2 x

Passo 5

Usamos a identidade trigonométrica
1-cos^2 x=sin^2 x,
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f'(x) =sin xsin^2 x =1sin x =csc x

Resposta

csc x

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