Assinale a(s) alternativa(s) corretas, em relação a seguinte função:
f(x, y)= exp (x^3-y^yx^2+y^j), & se (x, y) neq(0,0) ; 0, & se (x, y)=(0,0)
A função é contínua na região R^2-(0,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício que fala sobre uma função f(x, y) definida de forma diferente para o ponto (0,0) e para todos os outros pontos no plano. O conteúdo aqui é de cálculo multivariável, especificamente sobre continuidade de funções em R^2. O que precisamos fazer é verificar se a função f(x, y) é contínua em toda a região R^2 - (0,0), ou seja, em todo lugar menos no ponto (0,0).

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função está definida:
f(x, y) = exp(x^3 - y^yx^2 + y^j), & se (x, y) neq (0,0); 0, & se (x, y) = (0,0)
Aqui, exp representa a função exponencial, que é conhecida por ser contínua em todo o seu domínio. A parte complicada está na fração x^3 - y^yx^2 + y^j.

Passo 3

Vamos focar na região R^2 - (0,0), ou seja, todos os pontos (x, y) exceto (0,0). Nessa região:
  • O denominador x^2 + y^j não é zero porque estamos excluindo o ponto (0,0). Isso significa que a fração está bem definida em toda a região.
  • O numerador x^3 - y^y também está bem definido para esses pontos.
  • Como tanto o numerador quanto o denominador são funções contínuas nesse domínio, a fração inteira é contínua.
  • A função exponencial de uma função contínua também é contínua.

Passo 4

Como todas as partes que compõem f(x, y) são contínuas na região R^2 - (0,0), podemos concluir que f(x, y) é contínua em toda essa região.

Resposta

Sim, a afirmação de que a função f(x, y) é contínua na região R^2 - (0,0) está correta.

Exercícios relacionados