Assinale alternativa(s) corretas, em relação a seguinte função:
A função é contínua na região R^2-(0,0)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício que fala sobre uma função f(x, y) definida de forma diferente para o ponto (0,0) e para todos os outros pontos no plano. O conteúdo aqui é de cálculo multivariável, especificamente sobre continuidade de funções em R^2. O que precisamos fazer é verificar se a função f(x, y) é contínua em toda a região R^2 - (0,0), ou seja, em todo lugar menos no ponto (0,0).
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a função está definida:
Aqui, exp representa a função exponencial, que é conhecida por ser contínua em todo o seu domínio. A parte complicada está na fração x^3 - y^yx^2 + y^j.
Passo 3
Vamos focar na região R^2 - (0,0), ou seja, todos os pontos (x, y) exceto (0,0). Nessa região:
O denominador x^2 + y^j não é zero porque estamos excluindo o ponto (0,0). Isso significa que a fração está bem definida em toda a região.
O numerador x^3 - y^y também está bem definido para esses pontos.
Como tanto o numerador quanto o denominador são funções contínuas nesse domínio, a fração inteira é contínua.
A função exponencial de uma função contínua também é contínua.
Passo 4
Como todas as partes que compõem f(x, y) são contínuas na região R^2 - (0,0), podemos concluir que f(x, y) é contínua em toda essa região.
Resposta
Sim, a afirmação de que a função f(x, y) é contínua na região R^2 - (0,0) está correta.