Assinale a(s) alternativa(s) corretas, em relação ao resultado do seguinte limite:
O valor do limite é zero
Passo 1
Então, temos o seguinte exercício: calcular o limite de função de duas variáveis quando se aproxima de . A função dada é . O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de limites em funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como analisar o comportamento da função quando e estão muito próximos de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular esse limite. Quando dizemos , queremos saber qual valor a função está se aproximando quando ambos e estão chegando a zero simultaneamente.
Passo 3
Uma estratégia comum para resolver limites de funções de várias variáveis é avaliar o limite ao longo de diferentes caminhos que levam ao ponto . Se todos os caminhos levarem ao mesmo valor, podemos conjecturar que esse é o limite. Se encontrarmos caminhos que levam a valores diferentes, o limite não existe.
Passo 4
Vamos começar avaliando o limite quando . Substituindo na função:
Então, ao longo do caminho , o limite é 0.
Passo 5
Agora, vamos avaliar o limite quando . Substituindo na função:
Assim, ao longo do caminho , o limite também é 0.
Passo 6
Vamos tentar um caminho mais geral, por exemplo, , onde é uma constante. Substituindo na função:
Perceba que, à medida que se aproxima de 0, esse valor não depende de , mas apenas de . Para que o limite exista, esse valor precisa ser o mesmo para qualquer . Porém, isso não acontece, a menos que , o que nos leva a situações similares aos caminhos anteriores.
Passo 7
Outra abordagem é usar desigualdades para estimar a função e aplicar o Teorema do Encasamento (Squeeze Theorem). Observamos que todos os termos elevados a potências pares são não negativos, então podemos ter:
Entretanto, essa estimativa não é muito útil diretamente. Em vez disso, podemos relacionar x e y de forma que x^8 e y^4 sejam comparáveis. Por exemplo, se x^8 >= y^4, então x^8 + y^4 >= x^8, e assim: