Assinale a(s) alternativa(s) corretas, em relação ao resultado do seguinte limite: lim (x, y) (0,0) 2 x^4 y^2x^8+y^4
O valor do limite é zero

Passo 1

Então, temos o seguinte exercício: calcular o limite de função de duas variáveis quando (x, y) se aproxima de (0,0). A função dada é 2 x^4 y^2x^8+y^4. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de limites em funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como analisar o comportamento da função quando x e y estão muito próximos de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular esse limite. Quando dizemos lim (x, y) (0,0) 2 x^4 y^2x^8+y^4, queremos saber qual valor a função está se aproximando quando ambos x e y estão chegando a zero simultaneamente.

Passo 3

Uma estratégia comum para resolver limites de funções de várias variáveis é avaliar o limite ao longo de diferentes caminhos que levam ao ponto (0,0). Se todos os caminhos levarem ao mesmo valor, podemos conjecturar que esse é o limite. Se encontrarmos caminhos que levam a valores diferentes, o limite não existe.

Passo 4

Vamos começar avaliando o limite quando y = 0. Substituindo y = 0 na função:
2 x^4 cdot 0^2x^8+0^4 = 0x^8 = 0
Então, ao longo do caminho y = 0, o limite é 0.

Passo 5

Agora, vamos avaliar o limite quando x = 0. Substituindo x = 0 na função:
2 cdot 0^4 cdot y^20^8+y^4 = 0y^4 = 0
Assim, ao longo do caminho x = 0, o limite também é 0.

Passo 6

Vamos tentar um caminho mais geral, por exemplo, y = k x^2, onde k é uma constante. Substituindo y = k x^2 na função:
2 x^4 (k x^2)^2x^8 + (k x^2)^4 = 2 x^4 cdot k^2 x^4x^8 + k^4 x^8 = 2 k^2 x^8x^8(1 + k^4) = 2 k^21 + k^4
Perceba que, à medida que x se aproxima de 0, esse valor não depende de x, mas apenas de k. Para que o limite exista, esse valor precisa ser o mesmo para qualquer k. Porém, isso não acontece, a menos que k = 0, o que nos leva a situações similares aos caminhos anteriores.

Passo 7

Outra abordagem é usar desigualdades para estimar a função e aplicar o Teorema do Encasamento (Squeeze Theorem). Observamos que todos os termos elevados a potências pares são não negativos, então podemos ter:
| 2 x^4 y^2x^8+y^4 | <= 2 |x|^4 |y|^2y^4 = 2 |x|^4 cdot |y|^2y^4 = 2 |x|^4 cdot 1y^2
Entretanto, essa estimativa não é muito útil diretamente. Em vez disso, podemos relacionar x e y de forma que x^8 e y^4 sejam comparáveis. Por exemplo, se x^8 >= y^4, então x^8 + y^4 >= x^8, e assim:
| 2 x^4 y^2x^8+y^4 | <= 2 |x|^4 |y|^2x^8 = 2 y^2x^4
Dependendo da relação entre x e y, podemos concluir que a função está se aproximando de zero.

Resposta

Portanto, o limite lim (x, y) (0,0) 2 x^4 y^2x^8+y^4 é zero.

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