Integre as seguintes funções vetoriais:
(d) r(t)=e^t imath+ln (t) k.

Passo 1

O enunciado pede a primitiva (integral indefinida) da função vetorial
r(t)=e^t,vecimath+ln(t),vec k.
Como a integração de funções vetoriais se faz componente a componente, vamos integrar cada componente separadamente e, no final, reunir os resultados num único vetor mais uma constante vetorial de integração.

Passo 2

Integramos a componente em vecimath:
integral e^t,dt = e^t + C1
Aqui C1 é uma constante de integração associada à componente vecimath.

Passo 3

Não há componente em vecjmath (é zero). Logo
integral 0,dt = C2,
onde C2 é a constante de integração para a componente vecjmath.

Passo 4

Integramos a componente em vec k usando partes:
seja u=ln(t) e dv=dt, então du=tfrac1tdt e v=t.
Pela fórmula integral u,dv = uv - integral v,du, temos
integral ln(t),dt = tln(t) - integral tcdot1t,dt = tln(t) - integral 1,dt = tln(t) - t + C3,
onde C3 é a constante de integração para a componente vec k.

Passo 5

Reunindo todas as componentes, a primitiva de r(t) é
integral r(t),dt = l(e^t+C1r),vecimath + C2,vecjmath + l(tln(t)-t + C3r),vec k
Podemos agrupar as constantes em um único vetor constante
C = C1,vecimath + C2,vecjmath + C3,vec k.

Resposta

integral r(t),dt = e^t,vecimath + l(tln(t)-tr),vec k + C

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