Assinale alternativa(s) corretas, em relação a seguinte função:
A função não possui limite no ponto (0,0)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma função que depende de duas variáveis, f(x, y) , definida de forma diferente quando (x, y) é (0,0) ou não. A questão quer saber se a função tem ou não um limite nesse ponto específico, (0,0). Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo sobre limites de funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função quando (x, y) neq (0,0):
f(x, y) = exp(x^3 - y^yx^2 + y^j)
Aqui, exp é a função exponencial, que é contínua e sempre dá um valor positivo.
Passo 3
Para investigar o limite quando (x, y) to (0,0), vamos analisar o comportamento do expoente:
x^3 - y^yx^2 + y^j
Precisamos ver se esse quociente tem um limite definido quando (x, y) se aproxima de (0,0).
Passo 4
Vamos tentar alguns caminhos diferentes para (0,0) e ver se o limite do quociente é o mesmo em todos eles.
Caminho 1: y = 0
x^3 - 0^0x^2 + 0^j = x^3 - 1x^2 = x - 1x^2
Quando x to 0, 1x^2 tende ao infinito, então o limite aqui não existe.
Caminho 2: x = 0
0^3 - y^y0^2 + y^j = -y^yy^j = -y^y - j
Dependendo do valor de j, isso pode variar. Por exemplo, se j = y, temos -1, mas para outros valores pode ser diferente.
Passo 5
Como ao escolher caminhos diferentes encontramos resultados distintos (um tendendo ao infinito e outro a um valor finito), concluímos que o limite não é o mesmo em todos os caminhos. Isso significa que o limite da função f(x, y) quando (x, y) to (0,0)não existe.