Assinale alternativa(s) corretas, em relação a seguinte função:
A função só não é contínua no ponto (0,0)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está falando sobre uma função definida em duas partes e quer saber sobre a continuidade dela. Ou seja, a gente precisa entender quando a função é contínua ou não. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, mais especificamente, sobre limites e continuidade de funções de duas variáveis.
Ela está definida de duas maneiras: uma para todos os pontos exceto (0,0) e outra especificamente em (0,0).
Passo 3
A continuação de uma função em um ponto significa que o limite da função quando nos aproximamos desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, para verificar se a função é contínua em (0,0), precisamos calcular:
lim(x, y) to (0, 0) f(x, y)
e ver se esse limite é igual a f(0, 0) = 0 .
Passo 4
Vamos calcular o limite:
lim(x, y) to (0, 0) exp( x^3 - y^yx^2 + y^j )
Primeiro, precisamos entender o que acontece com o expoente quando (x, y) se aproxima de (0,0).
Passo 5
Vamos analisar o expoente:
x^3 - y^yx^2 + y^j
Aqui, temos y^y e y^j . Se considerarmos que j = 1 (se for um erro de digitação), então a expressão fica mais simples:
x^3 - y^yx^2 + y
À medida que y se aproxima de 0, y^y tende a 1, já que limy to 0 y^y = 1 . Portanto, o numerador se aproxima de x^3 - 1 e o denominador se aproxima de x^2 .
Passo 6
No entanto, se continuarmos com essa análise, percebemos que há um comportamento indeterminado, já que o numerador tende a -1 e o denominador tende a 0. Portanto, o limite do expoente tende a -infty .
Passo 7
Sabendo que:
limt to -infty exp(t) = 0
Então, o limite da função f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0) é 0.
Passo 8
Comparando com f(0, 0) = 0 , vemos que:
lim(x, y) to (0, 0) f(x, y) = f(0, 0)
Isso significa que a função é contínua em (0,0).
Passo 9
Agora, precisamos verificar a continuidade em outros pontos além de (0,0). Para (x, y) neq (0, 0) , a função é a exponencial de uma expressão que é contínua onde o denominador não é zero. Como x^2 + y é diferente de zero em (x, y) neq (0,0) , a função é contínua nesses pontos.
Resposta
A função é contínua em todos os pontos do plano, inclusive no ponto (0, 0). Portanto, a afirmação de que a função só não é contínua no ponto (0, 0) está incorreta.