Assinale a(s) alternativa(s) corretas, em relação a seguinte função:
f(x, y)= exp (x^3-y^yx^2+y^j), & se (x, y) neq(0,0) ; 0, & se (x, y)=(0,0)
A função é contínua em todo o plano R^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função f(x, y) definida de duas maneiras diferentes dependendo dos valores de x e y . O exercício está perguntando se essa função é contínua em todo o plano R^2 . Para resolver isso, a gente precisa lembrar sobre continuidade de funções de várias variáveis e verificar se a função f(x, y) não tem “quebras” ou “saltos” em nenhum ponto do plano. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função está definida:
f(x, y) = exp(x^3 - y^yx^2 + y^j), & se (x, y) neq (0,0) ; 0, & se (x, y) = (0,0)
Aqui, exp representa a função exponencial. A parada é verificar se, quando (x, y) se aproxima de (0,0) , o valor da função f(x, y) se aproxima de 0, que é o valor definido para f(0,0) .

Passo 3

Para isso, vamos calcular o limite de f(x, y) quando (x, y) tende a (0,0) :
lim(x, y) to (0,0) exp(x^3 - y^yx^2 + y^j)
Como a função exponencial é contínua, podemos mover o limite para dentro dela:
exp(lim(x, y) to (0,0) x^3 - y^yx^2 + y^j)
Agora, precisamos calcular o limite dentro da exponencial.

Passo 4

Vamos analisar o numerador e o denominador separadamente:
  • Numerador: x^3 - y^y
  • Denominador: x^2 + y^j
Quando (x, y) se aproxima de (0,0) :
  • x^3 tende a 0 mais rápido que x^2 .
  • y^y é um pouco mais complicado, mas para valores pequenos de y , y^y tende a 1, pois limy to 0 y^y = 1 .
  • y^j , dependendo do valor de j , também tende a 0.
Então, o numerador x^3 - y^y tende a 0 - 1 = -1 , enquanto o denominador x^2 + y^j tende a 0. Portanto, temos uma forma indeterminada -10 , que sugere que o limite tende para menos infinito.

Passo 5

Então, o limite dentro da exponencial é:
lim(x, y) to (0,0) x^3 - y^yx^2 + y^j = -infty
Aplicando na exponencial:
exp(-infty) = 0

Passo 6

Isso significa que:
lim(x, y) to (0,0) f(x, y) = 0
Como a função f(x, y) está definida como 0 no ponto (0,0) , o limite coincide com o valor da função nesse ponto.

Resposta

Sim, a função f(x, y) é contínua em todo o plano R^2 .

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