Assinale alternativa(s) corretas, em relação a seguinte função:
A função é contínua em todo o plano R^2
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função f(x, y) definida de duas maneiras diferentes dependendo dos valores de x e y . O exercício está perguntando se essa função é contínua em todo o plano R^2 . Para resolver isso, a gente precisa lembrar sobre continuidade de funções de várias variáveis e verificar se a função f(x, y) não tem “quebras” ou “saltos” em nenhum ponto do plano. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a função está definida:
Aqui, exp representa a função exponencial. A parada é verificar se, quando (x, y) se aproxima de (0,0) , o valor da função f(x, y) se aproxima de 0, que é o valor definido para f(0,0) .
Passo 3
Para isso, vamos calcular o limite de f(x, y) quando (x, y) tende a (0,0) :
lim(x, y) to (0,0) exp(x^3 - y^yx^2 + y^j)
Como a função exponencial é contínua, podemos mover o limite para dentro dela:
exp(lim(x, y) to (0,0) x^3 - y^yx^2 + y^j)
Agora, precisamos calcular o limite dentro da exponencial.
Passo 4
Vamos analisar o numerador e o denominador separadamente:
Numerador: x^3 - y^y
Denominador: x^2 + y^j
Quando (x, y) se aproxima de (0,0) :
x^3 tende a 0 mais rápido que x^2 .
y^y é um pouco mais complicado, mas para valores pequenos de y , y^y tende a 1, pois limy to 0 y^y = 1 .
y^j , dependendo do valor de j , também tende a 0.
Então, o numerador x^3 - y^y tende a 0 - 1 = -1 , enquanto o denominador x^2 + y^j tende a 0. Portanto, temos uma forma indeterminada -10 , que sugere que o limite tende para menos infinito.
Passo 5
Então, o limite dentro da exponencial é:
lim(x, y) to (0,0) x^3 - y^yx^2 + y^j = -infty
Aplicando na exponencial:
exp(-infty) = 0
Passo 6
Isso significa que:
lim(x, y) to (0,0) f(x, y) = 0
Como a função f(x, y) está definida como 0 no ponto (0,0) , o limite coincide com o valor da função nesse ponto.
Resposta
Sim, a função f(x, y) é contínua em todo o plano R^2 .