Reparametrize pelo comprimento de arco as seguintes curvas, sendo t in[0,2 pi].
(c) sigma(t)=(2-t, 4 t-1,8 t).

Passo 1

O enunciado pede para reparametrizar por comprimento de arco a curva
sigma(t) = (2 - t,;4t - 1,;8t), tin[0,2pi].
O conteúdo envolvido é cálculo do comprimento de arco e inversão da função comprimento para obter t em função de s.

Passo 2

Calcular a derivada de sigma:
sigma'(t) = l(-1,;4,;8r)
O comprimento instantâneo é o módulo dessa derivada, que é constante:
|sigma'(t)| = raiz(-1)^2 + 4^2 + 8^2 = raiz1 + 16 + 64 = 9

Passo 3

Como |sigma'(t)| é constante, o comprimento de arco desde t=0 até t é
s(t) ;=; integral0^t |sigma'(u)|,du ;=; integral0^t 9,du ;=; 9t

Passo 4

Invertendo a relação s = 9t obtemos
t = s9
Como t varia em [0,2pi], s varia em l[0,9cdot2pir]=[0,18pi].

Passo 5

Substituindo t = tfracs9 em sigma(t) temos a reparametrização por arco:
tildesigma(s) = l(2 - tfracs9,;tfrac4s9 - 1,;tfrac8s9r), sin[0,18pi]

Resposta

tildesigma(s) = l(2 - tfracs9,;tfrac4s9 - 1,;tfrac8s9r), 0<= s<= 18pi

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