Reparametrize pelo comprimento de arco as seguintes curvas, sendo t in[0,2 pi].
(b) alpha(t)=(a(1-sen(t)), a(1-cos (t))).

Passo 1

O enunciado pede para reparametrizar por comprimento de arco a curva
alpha(t) = l(a(1 - sin t),,a(1 - cos t)r), tin[0,2pi]
O conteúdo que vamos usar é que, se a velocidade |alpha'(t)| for constante, então o comprimento s desde t=0 até um parâmetro t é simplesmente essa velocidade vezes t, e a reparametrização por comprimento de arco é beta(s)=alpha(t(s)) com t(s) obtido invertendo s(t).

Passo 2

Calcular a derivada alpha'(t). Temos
alpha'(t) = l(-acos t,;asin tr)

Passo 3

Calcular a norma da velocidade:
|alpha'(t)| = raiz(-acos t)^2 + (asin t)^2 = raiza^2(cos^2 t + sin^2 t) = a
Ou seja, a velocidade é constante igual a a.

Passo 4

O comprimento de arco desde t=0 até t é
s(t) = integral0^t|alpha'(u)|,du = integral0^ta,du = a,t

Passo 5

Invertendo s=a,t
t = sa

Passo 6

A reparametrização por comprimento de arco é
beta(s) = alphal(t(s)r) = alpha!l(tfracsar) = l(al(1 - sintfracsar),;al(1 - costfracsar)r),
com sin[0,2pi a], pois quando t vai de 0 a 2pi, s=a,t vai de 0 a 2pi a.

Resposta

beta(s) = l(al(1 - sintfracsar),;al(1 - costfracsar)r), 0 <= s <= 2pi a

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