Assinale a alternativa verdadeira
a. integral0^infty t e^-3 t cos 2 t d t=12169
b. integral0^infty t e^-3 t sin 2 t d t=2169
c. integral0^infty t e^-3 t cos 2 t d t=513
d. integral0^infty t e^-3 t sin 3 t d t=136
e. integral0^infty t e^-3 t sin 2 t d t=12169

Passo 1

O enunciado pede para identificar qual das integrais impróprias
integral0^infty t e^-3tcos(2t),dt ou
integral0^infty t e^-3tsin(omega t),dt
é igual às expressões dadas nas alternativas. O conteúdo envolve transformadas de Laplace ou fórmulas conhecidas de integrais do tipo
integral0^infty t e^-stcos(omega t),dt e
integral0^infty t e^-stsin(omega t),dt.

Passo 2

Para usar transformada de Laplace, lembramos que
Lcos(omega t)(s)=ss^2+omega^2.
Então
integral0^infty t e^-stcos(omega t),dt=-ddsl(ss^2+omega^2r).
Calculando a derivada, obtemos
integral0^infty t e^-stcos(omega t),dt =s^2-omega^2(s^2+omega^2)^2

Passo 3

De modo análogo, como
Lsin(omega t)(s)=omegas^2+omega^2,
temos
integral0^infty t e^-stsin(omega t),dt =-ddsl(omegas^2+omega^2r) =2s,omega(s^2+omega^2)^2

Passo 4

Agora vamos avaliar
integral0^infty t e^-3tcos(2t),dt
com s=3 e omega=2. Pela fórmula do passo anterior,
integral0^infty t e^-3tcos(2t),dt =3^2-2^2(3^2+2^2)^2 =9-4(9+4)^2 =5169
Nenhuma alternativa dá tfrac5169, então as que dizem esse valor estão erradas.

Passo 5

Agora avaliamos
integral0^infty t e^-3tsin(2t),dt
com s=3 e omega=2. Da segunda fórmula,
integral0^infty t e^-3tsin(2t),dt =2cdot3cdot2(3^2+2^2)^2 =12169

Passo 6

Comparando com as alternativas, somente a opção que afirma
integral0^infty t e^-3tsin(2t),dt=12169
é verdadeira.

Resposta

e

Exercícios relacionados