A solução do PVI
y^prime prime-5 y^prime+6 y=u1(t) ; y(0)=0, y^prime(0)=0 é:
a. y(t)=u1(t)(13+16 e^2(t-1)-12 e^3(t-1))
b. y(t)=u1(t)(16-12 e^2(t-1)-13 e^3(t-1))
c. y(t)=u1(t)(16-12 e^2(t-1)+13 e^3(t-1))
d. y(t)=u1(t)(16-13 e^2(t-1)+12 e^3(t-1))
e. y(t)=u1(t)(13+16 e^2(t-1)+12 e^3(t-1))

Passo 1

O enunciado pede a solução do PVI
y'' - 5y' + 6y = u1(t), y(0)=0,;y'(0)=0,
onde u1(t) é o degrau unitário deslocado em t=1.
O método que vamos usar envolve obter a resposta ao impulso do sistema linear definido por L[y]=y''-5y'+6y e, em seguida, aplicar convolução com u1(t) (teorema do deslocamento no tempo).

Passo 2

Encontramos a função de transferência
Para determinar
daí . Logo
que é a resposta ao impulso.

Passo 3

Para o degrau deslocado u1(t)=u(t-1), a solução por convolução é
y(t)=(g * u1)(t) =integral0^tg(t-tau),u1(tau),dtau =integral1^tg(t-tau),dtau
Fazendo a mudança de variável s=t-tau, quando tau=1 temos s=t-1 e quando tau=t temos s=0. Assim
y(t)=u1(t)integral0^,t-1l(-e^2s+e^3sr),ds

Passo 4

Calculamos a integral
integral0^,t-1l(-e^2s+e^3sr),ds =l[-tfrac12e^2s+tfrac13e^3sr]0^,t-1 =-tfrac12e^2(t-1)+tfrac13e^3(t-1) +tfrac12-tfrac13
=-tfrac12e^2(t-1)+tfrac13e^3(t-1)+tfrac16

Passo 5

Substituindo na expressão de y(t) obtemos
y(t)=u1(t)l(tfrac16-tfrac12e^2(t-1)+tfrac13e^3(t-1)r)

Resposta

c. y(t)=u1(t)l(tfrac16-tfrac12e^2(t-1)+tfrac13e^3(t-1)r)

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