Tente explicar as seguintes propriedades dos números reais: Sejam a, b, c in R quaisquer
(h) Se a cdot b=0 então a=0 ou b=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em R, se
acdot b = 0
então necessariamente a = 0 ou b = 0.
O que vamos usar: a estrutura de corpo (field) dos números reais, em particular o fato de que todo elemento não-nulo tem inverso multiplicativo.

Passo 2

Suponha que aneq 0. Como R é um corpo, existe o inverso multiplicativo de a, que chamaremos de a^-1, satisfazendo
a^-1cdot a = 1

Passo 3

Multiplique a equação acdot b = 0 pela esquerda por a^-1. Pela associatividade do produto, temos
(a^-1cdot a)cdot b = a^-1cdot 0
Como a^-1cdot a =1 e a^-1cdot 0 = 0, segue
1cdot b = 0,
ou seja,
b = 0

Resposta

Portanto, se acdot b = 0 então ou a=0 ou, caso aneq0, concluímos b=0. Isso prova a propriedade desejada.

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