Tente explicar as seguintes propriedades dos números reais: Sejam
quaisquer
(h) Se
então
ou
.
(h) Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em
, se
então necessariamente
ou
.
O que vamos usar: a estrutura de corpo (field) dos números reais, em particular o fato de que todo elemento não-nulo tem inverso multiplicativo.
O que vamos usar: a estrutura de corpo (field) dos números reais, em particular o fato de que todo elemento não-nulo tem inverso multiplicativo.
Passo 2
Suponha que
. Como
é um corpo, existe o inverso multiplicativo de
, que chamaremos de
, satisfazendo
Passo 3
Multiplique a equação
pela esquerda por
. Pela associatividade do produto, temos
Como
e
, segue
ou seja,
Resposta
Portanto, se
então ou
ou, caso
, concluímos
. Isso prova a propriedade desejada.