Tente explicar as seguintes propriedades dos números reais: Sejam a, b, c in R quaisquer
(g) Se a neq 0 então (a^-1)^-1=a.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um número real aneq0, o inverso do inverso de a é o próprio a, isto é,
(a^-1)^-1 = a
O conteúdo aqui é o conceito de inverso multiplicativo em R e o axioma que garante a unicidade desse inverso.

Passo 2

Por definição de campo, para cada aneq0 existe um único elemento a^-1 tal que
acdot a^-1 = 1
e, pela comutatividade do produto em R,
a^-1cdot a = 1

Passo 3

Agora, queremos ver qual é o inverso de a^-1. Um candidato natural é justamente a, pois já vimos que
a^-1cdot a = 1
e
acdot a^-1 = 1
Logo, a satisfaz exatamente a condição de ser o inverso de a^-1.

Passo 4

Pelo axioma do campo, o inverso multiplicativo de um elemento não nulo é único. Como a satisfaz a definição de inverso de a^-1, concluímos unicamente que
(a^-1)^-1 = a

Resposta

(a^-1)^-1 = a.

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