Assinale a alternativa verdadeira
a. integral0^infty t e^-3 t cos 2 t d t=12169
b. integral0^infty t e^-3 t sin 2 t d t=2169
c. integral0^infty t e^-3 t cos 2 t d t=513
d. integral0^infty t e^-3 t sin 3 t d t=136
(2) e. integral0^infty t e^-3 t sin 2 t d t=12169

Passo 1

O enunciado pede para identificar qual das seguintes integrais impróprias
integral0^infty t e^-3tcos(2t),dt, integral0^infty t e^-3tsin(2t),dt, integral0^infty t e^-3tsin(3t),dt
corresponde às alternativas dadas. O conteúdo aqui é cálculo de integrais do tipo laplace de tcos(bt) e tsin(bt), que podem ser obtidas por derivação da transformada de Laplace de cos(bt) e sin(bt).

Passo 2

Lembrando as transformadas de Laplace:
Lcos(bt)(s)=ss^2+b^2, Lsin(bt)(s)=bs^2+b^2
Como Lt,f(t)(s)=-ddsl[Lf(t)(s)r], temos
integral0^infty t e^-s tcos(bt),dt =l(Ltcos(bt)r)(s) =-ddsss^2+b^2 =s^2 - b^2(s^2+b^2)^2

Passo 3

De modo análogo,
integral0^infty t e^-s tsin(bt),dt =l(Ltsin(bt)r)(s) =-ddsbs^2+b^2 =2b,s(s^2+b^2)^2

Passo 4

Agora tome s=3 e b=2. Para o cosseno:
integral0^infty t e^-3tcos(2t),dt =3^2 - 2^2(3^2+2^2)^2 =9 - 413^2 =5169

Passo 5

Para o seno com b=2:
integral0^infty t e^-3tsin(2t),dt =2cdot 2cdot 313^2 =12169

Passo 6

Para o seno com b=3:
integral0^infty t e^-3tsin(3t),dt =2cdot 3cdot 3(3^2+3^2)^2 =18(18)^2 =18324 =118

Passo 7

Comparando com as opções:
a. cos 2t = 12/169? Não (é 5/169).
b. sin 2t = 2/169? Não (é 12/169).
c. cos 2t = 5/13? Não (é 5/169).
d. sin 3t = 1/36? Não (é 1/18).
e. sin 2t = 12/169? Sim.

Resposta

e. integral0^infty t e^-3tsin(2t),dt=12169

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