Tente explicar as seguintes propriedades dos números reais: Sejam a, b, c in R quaisquer
(m) -(a+b)=-a-b.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a propriedade do inverso aditivo em R, ou seja, que o elemento que somado a a+b dá zero é exatamente a soma dos inversos de a e de b. Vamos usar os axiomas de grupo abeliano: associatividade, comutatividade da soma, existência de inverso aditivo e unicidade desse inverso.

Passo 2

Mostramos que ( -a ) + ( -b ) é o inverso de a+b ao calcular a soma e verificar que dá zero:
(a+b) + l((-a)+(-b)r) = l((a+b)+(-a)r) + (-b) = l(a + (b+(-a))r) + (-b)
pela associatividade e comutatividade,
= l(a + ((-a)+b)r) + (-b) = l((a+(-a)) + br) + (-b) = (0 + b) + (-b) = b + (-b) = 0
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(a+b) + l((-a)+(-b)r) = 0

Passo 3

Pela unicidade do inverso aditivo, qualquer elemento que somado a a+b dê zero é justamente -(a+b). Como vimos que (-a)+(-b) satisfaz (a+b)+(( -a )+( -b ))=0, concluímos
-(a+b)=(-a)+(-b)

Resposta

-(a+b)=-a-b

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