1 (1,4) Uma empresa produz um item e o vende a um preço p (em reais) que depende da quantidade x vendida (em milhares) pela função p(x)=200-5 x. O custo total de produção é dado por C(x)= 50 x+400. Quantas unidades x a empresa deve vender para maximizar o lucro? Qual será o lucro máximo?

Passo 1

O enunciado nos dá o preço de venda por mil unidades como
p(x)=200 - 5x
e o custo total como
C(x)=50x+400,
sendo x em milhares de unidades. Queremos usar o conteúdo de otimização de funções quadráticas (vértice de parábola) para encontrar a quantidade x que maximiza o lucro e calcular esse lucro máximo.

Passo 2

Primeiro, montamos a receita total R(x), que é preço vezes quantidade:
R(x)=x\;p(x)=x\,(200-5x)=200x-5x^2.

Passo 3

Em seguida, definimos a função lucro \pi(x) como receita menos custo:
\pi(x)=R(x)-C(x)=(200x-5x^2)-(50x+400)=-5x^2+150x-400.

Passo 4

Para maximizar essa parábola (coeficiente de x^2 negativo), usamos a fórmula do vértice x^*=-\tfrac{b}{2a}. Aqui a=-5 e b=150, logo
x^*=-\frac{150}{2\cdot(-5)}=\frac{150}{10}=15.

Passo 5

Por fim, calculamos o lucro máximo substituindo x^*=15:
\pi(15)=-5\cdot15^2+150\cdot15-400=-1125+2250-400=725.

Resposta

A empresa deve vender x=15 (isto é, 15 000 unidades) e o lucro máximo será \pi_{\max}=725 (em reais).

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