1 (1,4) Uma empresa produz um item e o vende a um preço
(em reais) que depende da quantidade
vendida (em milhares) pela função
. O custo total de produção é dado por
. Quantas unidades
a empresa deve vender para maximizar o lucro? Qual será o lucro máximo?
Passo 1
O enunciado nos dá o preço de venda por mil unidades como
e o custo total como
sendo
em milhares de unidades. Queremos usar o conteúdo de otimização de funções quadráticas (vértice de parábola) para encontrar a quantidade
que maximiza o lucro e calcular esse lucro máximo.
Passo 2
Primeiro, montamos a receita total
, que é preço vezes quantidade:
Passo 3
Em seguida, definimos a função lucro
como receita menos custo:
Passo 4
Para maximizar essa parábola (coeficiente de
negativo), usamos a fórmula do vértice
. Aqui
e
, logo
Passo 5
Por fim, calculamos o lucro máximo substituindo
:
Resposta
A empresa deve vender
(isto é, 15 000 unidades) e o lucro máximo será
(em reais).