2(1,5) Resolva os limites abaixo usando a regra de L’Hospital.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos (x)}{x^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to0}\frac{1-\cos(x)}{x^{2}}
usando a regra de L’Hospital. O conteúdo é limites de forma indeterminada 0/0 e vamos precisar aplicar derivação de numerador e denominador.

Passo 2

Verificamos que, ao substituir x=0, numerador e denominador vão para zero:
1-\cos(0)=0 \quad\text{e}\quad 0^{2}=0,
logo temos a forma indeterminada 0/0, condição para usar L’Hospital.

Passo 3

Aplicamos a regra de L’Hospital, derivando numerador e denominador em relação a x:
\text{numerador}' = \frac{d}{dx}\bigl(1-\cos(x)\bigr)=\sin(x),
\text{denominador}' = \frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x.
O limite torna-se
\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{2x}.

Passo 4

Reconhecemos que
\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1,
portanto
\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{2x} =\frac{1}{2}\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x} =\frac{1}{2}\cdot1 =\frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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