(3,5 pontos) Seja o campo vetorial definido por F(x, y)=\left(e^{y} \operatorname{sen}(x) ; e^{y} \cos (x)\right). Determine:
(1) Se o campo F é conservativo.
(2) Em caso positivo do item anterior, a função potencial.
(3) O trabalho deste campo para levar uma partícula do ponto A=(1,-1) para o ponto $B=(2,3).

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
F(x,y) = \bigl(P(x,y),\,Q(x,y)\bigr)
com
P(x,y) = e^{y}\sin(x), \quad Q(x,y) = e^{y}\cos(x).
Precisamos (1) verificar se F é conservativo, ou seja, se existe uma função potencial f tal que \nabla f = F, (2) em caso afirmativo encontrar f, e (3) calcular o trabalho
W = \int_{A}^{B} P\,dx + Q\,dy
de A=(1,-1) a B=(2,3).

Passo 2

Para testar se F é conservativo num domínio simplesmente conexo (aqui \mathbb{R}^2), comparamos
\frac{\partial P}{\partial y} \quad\text{e}\quad \frac{\partial Q}{\partial x}.
Calculamos
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{y}\sin x\bigr) = e^{y}\sin x,
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{y}\cos x\bigr) = -\,e^{y}\sin x.

Passo 3

Como
\frac{\partial P}{\partial y} = e^{y}\sin x \neq -\,e^{y}\sin x = \frac{\partial Q}{\partial x},
o rotacional de F não é zero e, portanto, F não é conservativo. Logo não existe função potencial f tal que \nabla f = F.

Passo 4

Quando um campo não é conservativo, o valor do trabalho
W = \int_{A}^{B} P\,dx + Q\,dy
depende da curva escolhida entre A e B. Como o enunciado não especifica nenhum caminho particular, não há como determinar um único valor para W.

Resposta

(1) F não é conservativo.
(2) Não existe função potencial.
(3) O trabalho depende do caminho e, sem especificar a trajetória de A a B, não há valor único para W.

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