Resolva os sistemas:
\left\{\begin{array}{l}\dot{x}=-x+2 y-4 z \\\ \dot{y}=x-y+4 z \\\ \dot{z}=x-y+3 z\end{array}\right.

Passo 1

O sistema
\begin{cases} \dot x=-x+2y-4z,\\\ \dot y=x-y+4z,\\\ \dot z=x-y+3z \end{cases}
é um sistema linear homogêneo de EDOs com coeficientes constantes. Para resolver, vamos escrever na forma vetorial \dot X = A X, achar os autovalores de A, seus autovetores e montar a solução geral.

Passo 2

Formamos a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & -4\\\\ 1 & -1 & 4\\\\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}
e calculamos o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0. Fazendo as contas (expandindo o determinante e simplificando) obtemos
\det(A-\lambda I)=\lambda^3-\lambda^2+\lambda-1=(\lambda-1)(\lambda^2+1).

Passo 3

Da fatoração (\lambda-1)(\lambda^2+1)=0 seguem os autovalores
\lambda_1=1,\qquad \lambda_{2,3}=\pm i.

Passo 4

Para \lambda_1=1\) resolvemos \((A-I)v=0\). Isso leva ao sistema \[\begin{cases} -2x+2y-4z=0,\\\ x-2y+4z=0,\\\ x-y+2z=0, \end{cases}
cuja solução é x=0,\;y=2z\]. Tomando \(z=1 obtemos o autovetor real
v_1=(0,2,1)^T.

Passo 5

Para \lambda=i resolvemos (A-iI)v=0 e achamos um autovetor complexo
v_2=(-2,\;1-i,\;1)^T.
Escrevendo v_2 = p + i\,q com
p=(-2,1,1),\quad q=(0,-1,0),
as duas soluções reais associadas ao par \pm i são
u(t)=p\cos t - q\sin t, \qquad w(t)=p\sin t + q\cos t.

Passo 6

A solução geral do sistema é combinação linear das três soluções independentes:
X(t)=C_1\,e^{t}v_1 + C_2\,u(t) + C_3\,w(t),
ou seja, em componentes
\begin{cases} x(t)=-2C_2\cos t -2C_3\sin t,\\\ y(t)=2C_1e^{t} + C_2(\cos t+\sin t) + C_3(\sin t-\cos t),\\\ z(t)=C_1e^{t} + C_2\cos t + C_3\sin t, \end{cases}
onde C_1,C_2,C_3 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

\boxed{ \begin{aligned} x(t)&=-2C_2\cos t -2C_3\sin t,\\\ y(t)&=2C_1e^{t} + C_2(\cos t+\sin t) + C_3(\sin t-\cos t),\\\ z(t)&=C_1e^{t} + C_2\cos t + C_3\sin t. \end{aligned} }

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