Resolva os sistemas:
Passo 1
O sistema
é um sistema linear homogêneo de EDOs com coeficientes constantes. Para resolver, vamos escrever na forma vetorial
, achar os autovalores de
, seus autovetores e montar a solução geral.
Passo 2
Formamos a matriz de coeficientes
e calculamos o polinômio característico
. Fazendo as contas (expandindo o determinante e simplificando) obtemos
Passo 3
Da fatoração
seguem os autovalores
Passo 4
Para
cuja solução é
obtemos o autovetor real
Passo 5
Para
resolvemos
e achamos um autovetor complexo
Escrevendo
com
as duas soluções reais associadas ao par
são
Passo 6
A solução geral do sistema é combinação linear das três soluções independentes:
ou seja, em componentes
onde
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.