Q1: Sejam \beta=\left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}\right\} uma base de \mathbb{R}^{2}, \vec{u}=(2,5) e \vec{v}= (-2,-8). Se as coordenadas na base \beta destes vetores são [\vec{u}]_{\beta}=(1,-1) e [\vec{v}]_{\beta}=(2,4), então \vec{b}_{2} é:
(A) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -10\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -9\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -8\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -7\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -6\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -5\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{r}\mathrm{m} \\\\ -4\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{r}+ \\\\ -3\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
A base \beta=\{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2}\} é uma base de \mathbb{R}^{2}.
Os vetores em coordenadas canônicas são \vec{u}=(2,5) e \vec{v}=(-2,-8). Ou seja, peguei \vec{u} e \vec{v} do enunciado.
As coordenadas desses vetores na base \beta são[\vec{u}]_{\beta}=(1,-1),\qquad [\vec{v}]_{\beta}=(2,4).
O que o enunciado pede:
Determinar \vec{b}_{2}. As alternativas fornecidas apontam apenas o segundo componente de \vec{b}_{2} (valores entre -10 e -3), então é suficiente encontrar o segundo componente para escolher a alternativa correta. Contudo aqui vamos encontrar \vec{b}_{2} completo para conferir.
Passo 2
Lembrando o significado de coordenadas em uma base: se [\vec{w}]_{\beta}=(\alpha,\beta), então
\vec{w}=\alpha\,\vec{b}_{1}+\beta\,\vec{b}_{2}.
Aplicando isso a \vec{u} e \vec{v}, obtemos duas equações vetoriais (peguei essas coordenadas do enunciado):
confere com o enunciado. Portanto \vec{b}_{2}=(-1,-3) está correto.
Passo 6
Comparando com as alternativas (que só diferenciam o segundo componente), o segundo componente de \vec{b}_{2} é -3. A alternativa que apresenta -3 como segundo componente é a alternativa (H).