Q1: Sejam \beta=\left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}\right\} uma base de \mathbb{R}^{2}, \vec{u}=(2,5) e \vec{v}= (-2,-8). Se as coordenadas na base \beta destes vetores são [\vec{u}]_{\beta}=(1,-1) e [\vec{v}]_{\beta}=(2,4), então \vec{b}_{2} é:
(A) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -10\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -9\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -8\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -7\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -6\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -5\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{r}\mathrm{m} \\\\ -4\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{r}+ \\\\ -3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A base \beta=\{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2}\} é uma base de \mathbb{R}^{2}.
  • Os vetores em coordenadas canônicas são \vec{u}=(2,5) e \vec{v}=(-2,-8). Ou seja, peguei \vec{u} e \vec{v} do enunciado.
  • As coordenadas desses vetores na base \beta são [\vec{u}]_{\beta}=(1,-1),\qquad [\vec{v}]_{\beta}=(2,4).
O que o enunciado pede:
  • Determinar \vec{b}_{2}. As alternativas fornecidas apontam apenas o segundo componente de \vec{b}_{2} (valores entre -10 e -3), então é suficiente encontrar o segundo componente para escolher a alternativa correta. Contudo aqui vamos encontrar \vec{b}_{2} completo para conferir.

Passo 2

Lembrando o significado de coordenadas em uma base: se [\vec{w}]_{\beta}=(\alpha,\beta), então
\vec{w}=\alpha\,\vec{b}_{1}+\beta\,\vec{b}_{2}.
Aplicando isso a \vec{u} e \vec{v}, obtemos duas equações vetoriais (peguei essas coordenadas do enunciado):
\vec{u}=1\cdot\vec{b}_{1}+(-1)\cdot\vec{b}_{2}=\vec{b}_{1}-\vec{b}_{2},
\vec{v}=2\cdot\vec{b}_{1}+4\cdot\vec{b}_{2}=2\vec{b}_{1}+4\vec{b}_{2}.
Essas são equações em \mathbb{R}^{2} que relacionam \vec{b}_{1} e \vec{b}_{2} com os vetores conhecidos \vec{u} e \vec{v}.

Passo 3

Isolar uma incógnita para resolver o sistema: da primeira equação
\vec{b}_{1}=\vec{u}+\vec{b}_{2}.
Substituindo essa expressão na segunda equação:
\vec{v}=2(\vec{u}+\vec{b}_{2})+4\vec{b}_{2}=2\vec{u}+6\vec{b}_{2}.
Agora isolo \vec{b}_{2}:
6\vec{b}_{2}=\vec{v}-2\vec{u}\quad\Rightarrow\quad \vec{b}_{2}=\frac{1}{6}(\vec{v}-2\vec{u}).

Passo 4

Calcular \vec{v}-2\vec{u} usando \vec{u}=(2,5) e \vec{v}=(-2,-8) (peguei esses vetores do enunciado):
2\vec{u}=2(2,5)=(4,10),
\vec{v}-2\vec{u}=(-2,-8)-(4,10)=(-6,-18).
Dividindo por 6:
\vec{b}_{2}=\frac{1}{6}(-6,-18)=(-1,-3).

Passo 5

Verificação rápida (importante em prova): calcular \vec{b}_{1}=\vec{u}+\vec{b}_{2}:
\vec{b}_{1}=(2,5)+(-1,-3)=(1,2).
Calcular 2\vec{b}_{1}+4\vec{b}_{2} para conferir que dá \vec{v}:
2\vec{b}_{1}+4\vec{b}_{2}=2(1,2)+4(-1,-3)=(2,4)+(-4,-12)=(-2,-8)=\vec{v},
confere com o enunciado. Portanto \vec{b}_{2}=(-1,-3) está correto.

Passo 6

Comparando com as alternativas (que só diferenciam o segundo componente), o segundo componente de \vec{b}_{2} é -3. A alternativa que apresenta -3 como segundo componente é a alternativa (H).

Resposta

(H) \displaystyle \begin{pmatrix}-1\\[4pt]-3\end{pmatrix}]

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