Assinale a função que cresce mais no intervalo indicado:
\left[\frac{1}{3}, \frac{1}{2}\right] \left[\frac{1}{2}, \frac{2}{3}\right] \left[\frac{2}{3}, 1\right] \left[1, \frac{4}{3}\right]
x
x^{2}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Funções dadas:
    • f(x)=x
    • g(x)=x^{2}
  • Intervalos dados:
    • \left[\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{2}\right]
    • \left[\dfrac{1}{2},\dfrac{2}{3}\right]
    • \left[\dfrac{2}{3},1\right]
    • \left[1,\dfrac{4}{3}\right]
O que o enunciado pede: para cada um desses intervalos, assinalar qual das duas funções “cresce mais” no intervalo — isto é, qual tem o maior aumento ao passar do extremo esquerdo para o extremo direito do intervalo.

Passo 2

Definir claramente o que significa “cresce mais” e escrever as fórmulas que vamos comparar.
  • Sejam a e b os extremos do intervalo com a<b.
  • O aumento (ou variação) de f no intervalo [a,b] é \Delta f=f(b)-f(a).
  • Compararemos \Delta f para f(x)=x e para g(x)=x^{2}.

Passo 3

Calcular as variações em termos gerais para um intervalo [a,b].
  • Para f(x)=x: \Delta f = f(b)-f(a) = b-a.
  • Para g(x)=x^{2}: \Delta g = g(b)-g(a) = b^{2}-a^{2}.Usando fatoração da diferença de quadrados, b^{2}-a^{2}=(b-a)(b+a).

Passo 4

Comparar \Delta f e \Delta g. Como b-a>0, podemos dividir por b-a (isso preserva a desigualdade):
\Delta g> \Delta f \quad\Longleftrightarrow\quad (b-a)(b+a) > b-a \quad\Longleftrightarrow\quad b+a>1.
Analogamente,
\Delta g = \Delta f \quad\Longleftrightarrow\quad b+a=1,
e
\Delta g<\Delta f \quad\Longleftrightarrow\quad b+a<1.
Portanto a regra prática: comparar a+b com 1. Se a+b>1 então x^{2} cresce mais; se a+b<1 então x cresce mais; se a+b=1 crescem igual.

Passo 5

Aplicar a regra a+b para cada intervalo, calculando cuidadosamente as somas.
  1. Para \left[\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{2}\right]:
    a+b=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{6}+\dfrac{3}{6}=\dfrac{5}{6}<1.
  2. Para \left[\dfrac{1}{2},\dfrac{2}{3}\right]:
    a+b=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{3}{6}+\dfrac{4}{6}=\dfrac{7}{6}>1.
  3. Para \left[\dfrac{2}{3},1\right]:
    a+b=\dfrac{2}{3}+1=\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{3}=\dfrac{5}{3}>1.
  4. Para \left[1,\dfrac{4}{3}\right]:
    a+b=1+\dfrac{4}{3}=\dfrac{3}{3}+\dfrac{4}{3}=\dfrac{7}{3}>1.

Passo 6

Interpretação rápida e intuição (útil na prova): a condição a+b>1 equivale a dizer que a média dos extremos \dfrac{a+b}{2} é maior que \dfrac{1}{2}. Isso tem sentido porque a derivada de x é constante 1, enquanto a derivada de x^{2} é 2x; se os pontos do intervalo estão na média acima de 1/2, a inclinação média de x^{2} é maior que 1 e portanto x^{2} cresce mais.

Resposta

\left[\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{2}\right]:\; x\n
\left[\dfrac{1}{2},\dfrac{2}{3}\right]:\; x^{2}\n
\left[\dfrac{2}{3},1\right]:\; x^{2}\n
\left[1,\dfrac{4}{3}\right]:\; x^{2}

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