Assinale o item que corresponde a uma das soluções dos sistema de EDOs
l x1^prime(t)=-2 x1(t)+x2(t) x2^prime(t)=-5 x1(t)+4 x2(t)
a.
b. X(t)=e^3 t[l1 5] é uma solução do sistema
c. X(t)=e^-2 t[l1 2] é uma solução do sistema
d. X(t)=e^-t[l1 2] é uma solução do sistema
e. X(t)=e^t[l1 2] é uma solução do sistema

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
x'(t)=A,x(t),
onde
A=-2 & 1-5 & 4,
e pede que a gente identifique qual dos vetores
X(t)=e^lambda tv
é solução. Para isso precisamos lembrar que X(t) é solução se e só se
A,v=lambda,v,
ou seja, lambda e v formam um par autovalor–autovetor de A.

Passo 2

Em cada item temos um par (lambda,v). Vamos calcular A,v e ver se dá lambda,v.

Passo 3

Item (b) propõe lambda=3 e v=15. Calculamos
A,v =-2 & 1-5 & 4 15 =-2cdot1+1cdot5-5cdot1+4cdot5 =315 =315 =3,v,
logo A,v=3,v e X(t)=e^3tv é de fato solução.

Passo 4

Itens (c), (d) e (e) usam todos v=12. Vamos calcular
A,v =-2 & 1-5 & 4 12 =-2+2-5+8 =03
Para ser solução precisaríamos que 03=lambda12. Mas não há lambdain-2,-1,1 que satisfaça
lambda12 =03,
portanto nenhum dos itens (c), (d) ou (e) funciona.

Resposta

(b) X(t)=e^3t15 é solução do sistema.

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