Selx1^prime(t)=x1(t)-5 x2(t) x2^prime(t)=x1(t)-3 x2(t) então:
a. X(t)=e^-t(cos t[l1 2]+sin t[l1 1]) é uma solução do sistema
b. X(t)=e^-t(cos t[l1 1]-sin t[l2 1]) é uma solução do sistema
c. X(t)=e^-t(cos t[l1 0]+sin t[l1 1]) é uma solução do sistema
d. X(t)=e^-t(cos t[l1 0]+sin t[l2 1]) é uma solução do sistema
e. X(t)=e^-t(cos t[l0 1]-sin t[l1 0]) é uma solução do sistema

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
x1'(t)=x1(t)-5,x2(t), x2'(t)=x1(t)-3,x2(t),
ou seja, X' = A,X com
A = 1 & -5[6pt]1 & -3
Ele apresenta várias funções da forma
X(t)=e^-tl(cos t,v+sin t,wr)
e pede para identificar qual delas satisfaz X'=AX. O conteúdo é solução de sistemas lineares com raízes complexas e testaremos diretamente o formato proposto.]

Passo 2

Suponha
X(t)=e^-tl(cos t,v+sin t,wr),
com v,winR^2. Então
X'(t)=e^-tl(-sin t,v+cos t,wr)-e^-tl(cos t,v+sin t,wr) =e^-tl(cos t,(w-v)+sin t,(-v-w)r)
Por outro lado
A,X(t)=e^-tl(cos t,A,v+sin t,A,wr)
Para X'=AX é necessário e suficiente que separemos coeficientes de cos t e sin t, obtendo o sistema em v,w:
w - v = A,v, -,v - w = A,w

Passo 3

Reescrevendo, as condições algébricas são
A,v = w - v, A,w = -,v - w
Para cada alternativa, identificamos v e w e testamos essas duas igualdades.

Passo 4

Analisando a alternativa (d), temos
v = 10, w = 21
Calculemos
A,v = 1 & -51 & -3 10 =11, w - v =21 -10 =11,
logo A,v = w - v. Em seguida
A,w = 1 & -51 & -3 21 =2-52-3 =-3-1,
e
-,v - w =-,10 -21 =-3-1,
logo A,w = -v - w. As duas condições são satisfeitas, portanto a opção (d) é solução.

Resposta

(d)

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