Calcule a área das regiões delimitadas pelas curvas dadas. Escolha segundo sua observação qual o melhor método de integração em relação a x ou a y.
y=x^2, x=y^2

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
y = x^2
e
x = y^2
O conteúdo aqui é cálculo de área entre duas curvas usando integrais definidas. Vamos descobrir os pontos de interseção e, em seguida, escolher o método de integração mais simples.

Passo 2

Para achar as interseções, resolvemos o sistema
y = x^2,
x = y^2
Substituindo y = x^2 em x = y^2 vem
x = (x^2)^2 = x^4 Longrightarrow x^4 - x = 0 Longrightarrow x(x^3 - 1) = 0
logo x = 0 ou x = 1. Em cada caso y = x^2 y = 0 ou y = 1. Assim, as interseções são (0,0) e (1,1).

Passo 3

Para 0 <= x <= 1, escrevemos x = y^2 como y = raizx (considerando y>=0). Num intervalo (0,1) vale
x^2 <= raizx,
então a curva y = raizx fica acima de y = x^2. A área entre elas é
Área = integral0^1 l(raizx - x^2r),dx Á

Passo 4

Calculando cada termo:
integral0^1 raizx,dx = integral0^1 x^tfrac12,dx = [tfrac23x^tfrac32]0^1 = tfrac23,
integral0^1 x^2,dx = [tfrac13x^3]0^1 = tfrac13
Portanto
Área = tfrac23 - tfrac13 = tfrac13 Á

Resposta

A área da região limitada pelas curvas y = x^2 e x = y^2 é tfrac13.

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