Assinale a opção que apresenta a descrição da ação no plano da transformação linear dada pela matriz: open square brackets table row 1 0 row 0 cell negative 1 end cell end table close square brackets
a.Mantém a direção e comprimento de todos os vetores do Plano.
b.Inverte o sentido de todos os vetores no Plano.
c.Reflete todos os vetores do plano pelo eixo x
d.Reflete todos os vetores do plano pelo eixo y.
e.Dobra o comprimento de todos os vetores do Plano.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está falando sobre transformações lineares e como uma matriz específica age no plano. Transformações lineares são maneiras de mudar vetores no plano usando matrizes. Para resolver, vamos precisar entender o que cada elemento da matriz faz com os vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a matriz dada:
1 & 0 0 & -1
Essa é uma matriz 2x2, que atua sobre vetores no plano (como [x, y]) para transformá-los em novos vetores.

Passo 3

Para ver o que essa matriz faz, vamos aplicá-la a um vetor genérico x y :

$$
1 & 0 0 & -1 x y = 1 cdot x + 0 cdot y 0 cdot x + (-1) cdot y = x - y
[x, y]

[x, -y]

$$
Então, o vetor é transformado em .

Passo 4

Agora, vamos entender o que [x, -y] significa geometricamente. O valor de x permanece o mesmo, mas y muda de sinal. Isso quer dizer que a componente vertical do vetor é invertida, ou seja, se estava para cima, passa para baixo, e vice-versa.

Passo 5

Isso é exatamente o que acontece quando refletimos um vetor em relação ao eixo x. A reflexão no eixo x mantém a posição horizontal ( x) e inverte a vertical ( y).

Passo 6

Vamos conferir as opções:
a. Mantém a direção e comprimento de todos os vetores do Plano.
→ Não, porque y foi invertido.
b. Inverte o sentido de todos os vetores no Plano.
→ Não, apenas a componente y foi invertida.
c. Reflete todos os vetores do plano pelo eixo x
→ Sim, exatamente o que vimos.
d. Reflete todos os vetores do plano pelo eixo y.
→ Não, isso inverteria a componente x.
e. Dobra o comprimento de todos os vetores do Plano.
→ Não, não mudou o comprimento.

Resposta

A opção correta é a c. Reflete todos os vetores do plano pelo eixo x.

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