Assinale a opção que apresenta a descrição da ação no plano da transformação linear dada pela matriz: open square brackets table row 1 0 row 0 cell negative 1 end cell end table close square brackets
a.Mantém a direção e comprimento de todos os vetores do Plano.
b.Inverte o sentido de todos os vetores no Plano.
c.Reflete todos os vetores do plano pelo eixo x
d.Reflete todos os vetores do plano pelo eixo y.
e.Dobra o comprimento de todos os vetores do Plano.
a.Mantém a direção e comprimento de todos os vetores do Plano.
b.Inverte o sentido de todos os vetores no Plano.
c.Reflete todos os vetores do plano pelo eixo x
d.Reflete todos os vetores do plano pelo eixo y.
e.Dobra o comprimento de todos os vetores do Plano.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está falando sobre transformações lineares e como uma matriz específica age no plano. Transformações lineares são maneiras de mudar vetores no plano usando matrizes. Para resolver, vamos precisar entender o que cada elemento da matriz faz com os vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a matriz dada:
Essa é uma matriz 2x2, que atua sobre vetores no plano (como
) para transformá-los em novos vetores.
Passo 3
Para ver o que essa matriz faz, vamos aplicá-la a um vetor genérico
:
$$
$$
Então, o vetor
é transformado em
.
Passo 4
Agora, vamos entender o que
significa geometricamente. O valor de
permanece o mesmo, mas
muda de sinal. Isso quer dizer que a componente vertical do vetor é invertida, ou seja, se estava para cima, passa para baixo, e vice-versa.
Passo 5
Isso é exatamente o que acontece quando refletimos um vetor em relação ao eixo x. A reflexão no eixo x mantém a posição horizontal (
) e inverte a vertical (
).
Passo 6
Vamos conferir as opções:
a. Mantém a direção e comprimento de todos os vetores do Plano.
→ Não, porque foi invertido.
→ Não, porque
b. Inverte o sentido de todos os vetores no Plano.
→ Não, apenas a componente foi invertida.
→ Não, apenas a componente
c. Reflete todos os vetores do plano pelo eixo x
→ Sim, exatamente o que vimos.
→ Sim, exatamente o que vimos.
d. Reflete todos os vetores do plano pelo eixo y.
→ Não, isso inverteria a componente .
→ Não, isso inverteria a componente
e. Dobra o comprimento de todos os vetores do Plano.
→ Não, não mudou o comprimento.
→ Não, não mudou o comprimento.
Resposta
A opção correta é a c. Reflete todos os vetores do plano pelo eixo x.