Determine a inversa das matrizes, quando possível:
a) A= | 3 4|
b) B= |1 0|
c) C= | 1 0 0|| 1 0| |3 0| |1 3 1||1 2 0|
a) A= | 3 4|
b) B= |1 0|
c) C= | 1 0 0|| 1 0| |3 0| |1 3 1||1 2 0|
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar as inversas das matrizes quando possível. A matéria que estamos trabalhando aqui é álgebra linear, especificamente o conceito de matrizes inversas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o determinante e usar a fórmula da matriz inversa para matrizes 2x2. Vamos lá!
Passo 2
a) Matriz A =
Parece que a matriz A foi escrita em forma de linha, mas para encontrar a inversa, ela precisa ser uma matriz quadrada. Vou considerar que a matriz A é uma matriz 2x2, por exemplo:
Mas, uma matriz 1x2 (linha) ou 2x1 (coluna) não possui inversa. Então, acredito que houve um erro na formatação. Vamos supor que a matriz A seja uma matriz 2x2:
Ainda assim não é quadrada. Provavelmente, faltou uma linha. Sem uma matriz quadrada, não conseguimos encontrar a inversa. Então, vamos passar para a próxima parte.
b) Matriz B =
Novamente, parece que a matriz B está escrita como uma linha. Vamos assumir que foi supuesto ser uma matriz 2x2:
Essa é na verdade a matriz identidade 2x2, cuja inversa é ela mesma. Mas, se a matriz B for realmente 1x2 ou 2x1, ela não terá inversa. Vamos considerar que seja a identidade, então sua inversa é a própria matriz.
c) Matriz C
A parte c) está um pouco confusa na formatação, mas vamos tentar interpretar. Vou supor que a matriz C seja uma matriz 3x3:
Agora, vamos tentar encontrar a inversa dessa matriz.
Passo 3
Para encontrar a inversa de uma matriz 3x3, usamos o método dos minores, cofatores e adjunta, e então multiplicamos pela recíproca do determinante. Primeiro, precisamos calcular o determinante da matriz C.
Como o determinante é diferente de zero, a matriz C é inversível.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a matriz de cofatores de C. Para cada elemento $ c_{ij} $ da matriz C, calculamos o menor correspondente e aplicamos o sinal adequado.
Por exemplo, para $ c_{11} = 1 $, o menor é:
Fazemos isso para todos os elementos:
Passo 5
A próxima etapa é transpor a matriz de cofatores para obter a adjunta de C:
Neste caso, a adjunta é igual à matriz de cofatores porque a matriz de cofatores é simétrica.
Passo 6
Finalmente, para encontrar a inversa de C, multiplicamos a adjunta pela recíproca do determinante:
Resposta
A inversa das matrizes, quando possível, é:
a) Matriz A: Não é possível encontrar a inversa, pois a matriz não é quadrada.
b) Matriz B: Se for a matriz identidade 2x2, sua inversa é ela mesma:
c) Matriz C: