Determine a inversa das matrizes, quando possível:
a) A= | 3 4|
b) B= |1 0|
c) C= | 1 0 0|| 1 0| |3 0| |1 3 1||1 2 0|

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar as inversas das matrizes quando possível. A matéria que estamos trabalhando aqui é álgebra linear, especificamente o conceito de matrizes inversas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o determinante e usar a fórmula da matriz inversa para matrizes 2x2. Vamos lá!

Passo 2

a) Matriz A = 3 & 4

Parece que a matriz A foi escrita em forma de linha, mas para encontrar a inversa, ela precisa ser uma matriz quadrada. Vou considerar que a matriz A é uma matriz 2x2, por exemplo:
A = 3 & 4
Mas, uma matriz 1x2 (linha) ou 2x1 (coluna) não possui inversa. Então, acredito que houve um erro na formatação. Vamos supor que a matriz A seja uma matriz 2x2:
A = 3 & 4
Ainda assim não é quadrada. Provavelmente, faltou uma linha. Sem uma matriz quadrada, não conseguimos encontrar a inversa. Então, vamos passar para a próxima parte.

b) Matriz B = 1 & 0

Novamente, parece que a matriz B está escrita como uma linha. Vamos assumir que foi supuesto ser uma matriz 2x2:
B = 1 & 0 0 & 1
Essa é na verdade a matriz identidade 2x2, cuja inversa é ela mesma. Mas, se a matriz B for realmente 1x2 ou 2x1, ela não terá inversa. Vamos considerar que seja a identidade, então sua inversa é a própria matriz.

c) Matriz C

A parte c) está um pouco confusa na formatação, mas vamos tentar interpretar. Vou supor que a matriz C seja uma matriz 3x3:
C = 1 & 0 & 0 1 & 0 & 3 1 & 3 & 1
Agora, vamos tentar encontrar a inversa dessa matriz.

Passo 3

Para encontrar a inversa de uma matriz 3x3, usamos o método dos minores, cofatores e adjunta, e então multiplicamos pela recíproca do determinante. Primeiro, precisamos calcular o determinante da matriz C.
det(C) = 1 cdot (0 cdot 1 - 3 cdot 3) - 0 cdot (1 cdot 1 - 3 cdot 1) + 0 cdot (1 cdot 3 - 0 cdot 1)
det(C) = 1 cdot (0 - 9) - 0 + 0
det(C) = -9
Como o determinante é diferente de zero, a matriz C é inversível.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a matriz de cofatores de C. Para cada elemento $ c_{ij} $ da matriz C, calculamos o menor correspondente e aplicamos o sinal adequado.
Por exemplo, para $ c_{11} = 1 $, o menor é:
cij
c11 = 1
Fazemos isso para todos os elementos:
M11 = det 0 & 3 3 & 1 = (0 cdot 1) - (3 cdot 3) = -9

Passo 5

A próxima etapa é transpor a matriz de cofatores para obter a adjunta de C:
Adj(C) = -9 & 3 & 3 3 & 1 & -1 3 & -1 & -1 ^T = -9 & 3 & 3 3 & 1 & -1 3 & -1 & -1
Neste caso, a adjunta é igual à matriz de cofatores porque a matriz de cofatores é simétrica.

Passo 6

Finalmente, para encontrar a inversa de C, multiplicamos a adjunta pela recíproca do determinante:
C^-1 = 1det(C) cdot Adj(C) = 1-9 cdot -9 & 3 & 3 3 & 1 & -1 3 & -1 & -1
C^-1 = 1 & -13 & -13 -13 & -19 & 19 -13 & 19 & 19

Resposta

A inversa das matrizes, quando possível, é:
a) Matriz A: Não é possível encontrar a inversa, pois a matriz não é quadrada.
b) Matriz B: Se for a matriz identidade 2x2, sua inversa é ela mesma:
B^-1 = 1 & 0 0 & 1
c) Matriz C:
C^-1 = 1 & -13 & -13 -13 & -19 & 19 -13 & 19 & 19

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