Determine a abscissa do centro de massa de um sólido na forma de um cubo, definido por 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 1, com densidade volumétrica de massa δ (x, y, z) = 6 (x² + y² + z²).
Passo 1
Então, temos um cubo que vai de 0 a 1 em todas as direções (x, y, z). A densidade desse cubo varia de acordo com a função δ(x, y, z) = 6(x² + y² + z²). Nosso objetivo é encontrar a abscissa do centro de massa desse sólido. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais múltiplas aplicados à física, especialmente para calcular centros de massa com densidade variável.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que o centro de massa na direção x, chamado de $ \bar{x} $, é dado pela fórmula:
Aqui, o numerador representa a integral de $ x $ vezes a densidade sobre todo o volume, e o denominador é a massa total do cubo.
Passo 3
Vamos calcular o denominador primeiro, que é a massa total $ M $:
Como a função é simétrica em relação a x, y e z, podemos simplificar a integração.
Passo 4
Vamos integrar em relação a x, mantendo y e z constantes:
As integrais de y² e z² em relação a x são simples, já que y e z são constantes nessa integração.
Passo 5
Calcular as integrais internas:
Passo 6
Substituir de volta na expressão de M:
Agora, vamos integrar em relação a y.
Passo 7
Integrando em relação a y:
Passo 8
Agora, integrar em relação a z:
Então, a massa total M é 6.
Passo 9
Agora, vamos calcular o numerador da fórmula do $ \bar{x} $:
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Passo 10
Vamos integrar termo a termo:
Passo 11
Substituir na expressão do numerador:
Integrando em relação a y:
Passo 12
Agora, integrar em relação a z:
Resposta
A abscissa do centro de massa é $ \bar{x} = \frac{7}{2} \div 6 = \frac{7}{12} $.