Determine a abscissa do centro de massa de um sólido na forma de um cubo, definido por 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 1, com densidade volumétrica de massa δ (x, y, z) = 6 (x² + y² + z²).

Passo 1

Então, temos um cubo que vai de 0 a 1 em todas as direções (x, y, z). A densidade desse cubo varia de acordo com a função δ(x, y, z) = 6(x² + y² + z²). Nosso objetivo é encontrar a abscissa do centro de massa desse sólido. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais múltiplas aplicados à física, especialmente para calcular centros de massa com densidade variável.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que o centro de massa na direção x, chamado de $ \bar{x} $, é dado pela fórmula:
barx
Aqui, o numerador representa a integral de $ x $ vezes a densidade sobre todo o volume, e o denominador é a massa total do cubo.

Passo 3

Vamos calcular o denominador primeiro, que é a massa total $ M $:
M
Como a função é simétrica em relação a x, y e z, podemos simplificar a integração.

Passo 4

Vamos integrar em relação a x, mantendo y e z constantes:
M = 6 integral0^1 integral0^1 ( integral0^1 x^2 , dx + integral0^1 y^2 , dx + integral0^1 z^2 , dx ) dy , dz
As integrais de y² e z² em relação a x são simples, já que y e z são constantes nessa integração.

Passo 5

Calcular as integrais internas:
integral0^1 x^2 , dx = [ x^33 ]0^1 = 13
integral0^1 y^2 , dx = y^2 cdot integral0^1 dx = y^2 cdot 1 = y^2
integral0^1 z^2 , dx = z^2 cdot integral0^1 dx = z^2 cdot 1 = z^2

Passo 6

Substituir de volta na expressão de M:
M = 6 integral0^1 integral0^1 ( 13 + y^2 + z^2 ) dy , dz
Agora, vamos integrar em relação a y.

Passo 7

Integrando em relação a y:
integral0^1 ( 13 + y^2 + z^2 ) dy = 13 cdot 1 + y^33 g|0^1 + z^2 cdot 1 = 13 + 13 + z^2 = 23 + z^2

Passo 8

Agora, integrar em relação a z:
M = 6 integral0^1 ( 23 + z^2 ) dz = 6 ( 23 cdot 1 + z^33 g|0^1 ) = 6 ( 23 + 13 ) = 6 cdot 1 = 6
Então, a massa total M é 6.

Passo 9

Agora, vamos calcular o numerador da fórmula do $ \bar{x} $:
barx
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
integralintegralintegral x cdot 6(x^2 + y^2 + z^2) , dV = 6 integral0^1 integral0^1 integral0^1 x(x^2 + y^2 + z^2) , dx , dy , dz

Passo 10

Vamos integrar termo a termo:
integral0^1 x^3 , dx = [ x^44 ]0^1 = 14
integral0^1 x y^2 , dx = y^2 cdot integral0^1 x , dx = y^2 cdot 12 = y^22
integral0^1 x z^2 , dx = z^2 cdot integral0^1 x , dx = z^2 cdot 12 = z^22

Passo 11

Substituir na expressão do numerador:
6 integral0^1 integral0^1 ( 14 + y^22 + z^22 ) dy , dz
Integrando em relação a y:
integral0^1 ( 14 + y^22 + z^22 ) dy = 14 cdot 1 + 12 cdot 13 + z^22 cdot 1 = 14 + 16 + z^22 = 512 + z^22

Passo 12

Agora, integrar em relação a z:
6 integral0^1 ( 512 + z^22 ) dz = 6 ( 512 cdot 1 + 12 cdot 13 ) = 6 ( 512 + 16 ) = 6 cdot 712 = 72

Resposta

A abscissa do centro de massa é $ \bar{x} = \frac{7}{2} \div 6 = \frac{7}{12} $.

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