Assinale a opção que apresenta um valor para x que torne a série sumi=0^+infty i x^i convergente.
A) -10
B) -10-1
C) -1
D) 1

Passo 1

Beleza, o enunciado pede: “Qual das opções faz a série
$\displaystyle \sum_{i=0}^{+\infty} i,x^i$
convergir?” Isso é assunto de séries de potências e testes de convergência — aqui a gente vai usar o teste da razão (ou de ordem).

Passo 2

Teoria na prática: para a série sum i,x^i, cada termo é
ai = i,x^i
O teste da razão diz que a série converge se
L = limitoinfty|ai+1ai| < 1
Vamos calcular esse L:
|ai+1ai| = |(i+1),x^i+1i,x^i| = |x|;i+1i ;xrightarrow[itoinfty]; |x|cdot 1 = |x|
Logo a série converge se e somente se
|x| < 1

Passo 3

Bastou achar o “raio” de convergência |x|<1. Agora é só testar as opções:
A) x=-10 |x|=10>1, diverge.
B) x=-10^-1 (ou seja -1/10) → |x|=0,1<1, converge.
C) x=-1 |x|=1, caso de fronteira; de fato ai=i(-1)^i não vai a zero, diverge.
D) x=1 |x|=1, diverge (soma de i cresce sem parar).

Resposta

Opção B: x = -10^-1.

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