Calcule a derivada d rd t de primeira ordem e a derivada d^2 rd t^2 de segunda ordem, das seguintes fungōes vetoriais:
s(t)=sen(5 t) i+cos (4 t) j-e^-2 t k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa calcular a primeira derivada d rd t e a segunda derivada d^2 rd t^2 da função vetorial dada:
s(t) = sin(5 t) i + cos(4 t) j - e^-2 t k
Para isso, vamos usar conceitos de derivação de funções trigonométricas e exponenciais aplicadas a cada componente vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada d rd t. Isso significa que vamos derivar cada componente da função s(t) em relação a t.
A derivada de sin(kt) em relação a t é k cos(kt), a derivada de cos(k t) é -k sin(k t) e a derivada de e^kt é k e^kt, onde k é uma constante.

Passo 3

Aplicando essas regras às componentes de s(t):
  1. Derivando sin(5 t) i:
ddt sin(5 t) i = 5 cos(5 t) i
  1. Derivando cos(4 t) j:
ddt cos(4 t) j = -4 sin(4 t) j
  1. Derivando -e^-2 t k:
ddt (-e^-2 t) k = 2 e^-2 t k

Passo 4

Juntando todas as derivadas das componentes, a primeira derivada fica:
d rd t = 5 cos(5 t) i - 4 sin(4 t) j + 2 e^-2 t k

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada d^2 rd t^2. Isso significa que vamos derivar novamente cada componente da primeira derivada.

Passo 6

Derivando cada componente da primeira derivada:
  1. Derivando 5 cos(5 t) i:
ddt 5 cos(5 t) i = -25 sin(5 t) i
  1. Derivando -4 sin(4 t) j:
ddt (-4 sin(4 t)) j = -16 cos(4 t) j
  1. Derivando 2 e^-2 t k:
ddt 2 e^-2 t k = -4 e^-2 t k

Passo 7

Juntando todas as derivadas das componentes, a segunda derivada fica:
d^2 rd t^2 = -25 sin(5 t) i - 16 cos(4 t) j - 4 e^-2 t k

Resposta

A primeira derivada da função vetorial é:
d rd t = 5 cos(5 t) i - 4 sin(4 t) j + 2 e^-2 t k
E a segunda derivada é:
d^2 rd t^2 = -25 sin(5 t) i - 16 cos(4 t) j - 4 e^-2 t k

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