Calcule a derivada
de primeira ordem e a derivada
de segunda ordem, das seguintes fungōes vetoriais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada de primeira ordem,
, e a derivada de segunda ordem,
, da função vetorial dada:
Para isso, vamos trabalhar com conceitos de cálculo diferencial aplicados a funções vetoriais. Vamos precisar conhecer as regras básicas de derivação para funções escalares, já que cada componente da função vetorial é uma função de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para derivar uma função vetorial, a gente deriva cada uma das suas componentes separadamente em relação a
. Ou seja, se
, então:
Vamos aplicar isso na nossa função
.
Passo 3
Vamos derivar a primeira componente:
.
A derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Agora, vamos derivar a segunda componente:
.
A derivada de
em relação a
é:
Passo 5
Por último, vamos derivar a terceira componente:
.
Usamos a regra da cadeia aqui. A derivada de
em relação a
é
, e depois multiplicamos pela derivada de
em relação a
.
Então:
Passo 6
Agora, juntando todas as derivadas das componentes, temos a derivada de primeira ordem:
Passo 7
Para encontrar a derivada de segunda ordem,
, vamos derivar novamente cada componente de
.
Começando com a primeira componente:
.
A derivada de
em relação a
é:
Passo 8
Agora, a segunda componente:
.
A derivada de
em relação a
é:
Passo 9
Por último, a terceira componente:
.
Vamos usar a regra do quociente para derivar essa fração. Se temos
e
, então:
Calculando:
Então:
Resposta
Portanto, as derivadas solicitadas são:
e