Calcule a derivada d rd t de primeira ordem e a derivada d^2 rd t^2 de segunda ordem, das seguintes fungōes vetoriais:
r(t)=(3 f^2, e^-t, ln (t^2+1));

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada de primeira ordem, drdt, e a derivada de segunda ordem, d^2rdt^2, da função vetorial dada:
r(t) = (3 t^2, e^-t, ln (t^2+1))
Para isso, vamos trabalhar com conceitos de cálculo diferencial aplicados a funções vetoriais. Vamos precisar conhecer as regras básicas de derivação para funções escalares, já que cada componente da função vetorial é uma função de t.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para derivar uma função vetorial, a gente deriva cada uma das suas componentes separadamente em relação a t. Ou seja, se r(t) = (f(t), g(t), h(t)), então:
drdt = (dfdt, dgdt, dhdt)
Vamos aplicar isso na nossa função r(t).

Passo 3

Vamos derivar a primeira componente: 3 t^2.
A derivada de 3 t^2 em relação a t é:
ddt(3 t^2) = 3 cdot 2 t^1 = 6 t

Passo 4

Agora, vamos derivar a segunda componente: e^-t.
A derivada de e^-t em relação a t é:
ddt(e^-t) = -e^-t

Passo 5

Por último, vamos derivar a terceira componente: ln(t^2 + 1).
Usamos a regra da cadeia aqui. A derivada de ln(u) em relação a u é 1u, e depois multiplicamos pela derivada de u em relação a t.
Então:
ddt ln(t^2 + 1) = 1t^2 + 1 cdot 2t = 2tt^2 + 1

Passo 6

Agora, juntando todas as derivadas das componentes, temos a derivada de primeira ordem:
drdt = (6t, -e^-t, 2tt^2 + 1)

Passo 7

Para encontrar a derivada de segunda ordem, d^2rdt^2, vamos derivar novamente cada componente de drdt.
Começando com a primeira componente: 6t.
A derivada de 6t em relação a t é:
ddt(6t) = 6

Passo 8

Agora, a segunda componente: -e^-t.
A derivada de -e^-t em relação a t é:
ddt(-e^-t) = e^-t

Passo 9

Por último, a terceira componente: 2tt^2 + 1.
Vamos usar a regra do quociente para derivar essa fração. Se temos u(t) = 2t e v(t) = t^2 + 1, então:
ddt(uv) = u'v - uv'v^2
Calculando:
u' = 2 v' = 2t
Então:
ddt(2tt^2 + 1) = 2(t^2 + 1) - 2t cdot 2t(t^2 + 1)^2 = 2t^2 + 2 - 4t^2(t^2 + 1)^2 = -2t^2 + 2(t^2 + 1)^2 = 2(1 - t^2)(t^2 + 1)^2

Resposta

Portanto, as derivadas solicitadas são:
drdt = (6t, -e^-t, 2tt^2 + 1)
e
d^2rdt^2 = (6, e^-t, 2(1 - t^2)(t^2 + 1)^2)

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