Exercício 7. Escreva integrais que calculem a área da superfície obtida ao rotacionar a curva dada pelo eixo x e pelo eixo y.
y=cosh x, 0 <= x <= ln 2;

Passo 1

O enunciado dá a curva ;y=cosh x; no intervalo ;0<= x<=ln2; e pede as áreas de superfície obtidas ao girar essa curva em torno do eixo x e em torno do eixo y. Vamos usar as fórmulas de superfície de revolução, que envolvem o diferencial de arco ,ds.

Passo 2

Calculamos o diferencial de arco para y=cosh x. Primeiro,
y'=dydx=sinh x,
de modo que
ds=raiz1+(y')^2,dx =raiz1+sinh^2 x,dx =cosh x,dx

Passo 3

Para rotação em torno do eixo x, a fórmula é
Sx = 2piintegral0^ln2y,ds
Substituindo y=cosh x e ds=cosh x,dx, obtemos
Sx = 2piintegral0^ln2cosh x;cosh x,dx =2piintegral0^ln2cosh^2 x,dx

Passo 4

Para rotação em torno do eixo y, a fórmula é
Sy = 2piintegral0^ln2x,ds
Substituindo ds=cosh x,dx, temos
Sy = 2piintegral0^ln2x,cosh x,dx

Resposta

Sx = 2piintegral0^ln2cosh^2 x,dx, Sy = 2piintegral0^ln2x,cosh x,dx

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