Assinale a opção em que consta corretamente o conjunto correspondente à solução da inequação x^{2}-4|x|+3 \leq 0.
(A) [-3,-1] \cup[1,3]
(B) [1,3]
(C) (-\infty, 3]
(D) [-3,3]

Passo 1

O enunciado dá a inequação \,x^{2}-4|x|+3 \leq 0\, e pede para identificar, entre as alternativas fornecidas, qual é o conjunto solução correto. Informações relevantes fornecidas:
  • A incógnita é x (real).
  • A expressão envolve o valor absoluto |x|.
  • As alternativas são:
    • (A) \,[-3,-1]\cup[1,3]\,
    • (B) \,[1,3]\,
    • (C) \,(-\infty,3]\,
    • (D) \,[-3,3]\,

Passo 2

Estratégia prática (sem resolver ainda): quando aparece |x| numa expressão polinomial quadrática em |x|, é comum fazer a substituição \,y=|x|\, para transformar a inequação numa inequação quadrática em y. Observação importante: por definição |x|\geq 0, então y só pode assumir valores não-negativos. Aplicando a substituição:
y=|x|\quad\Rightarrow\quad x^{2}-4|x|+3 = y^{2}-4y+3.
Portanto a inequação vira
y^{2}-4y+3 \leq 0,\qquad \text{com a restrição } y\geq 0.çã

Passo 3

Resolver a inequação quadrática \,y^{2}-4y+3 \leq 0\,.
Primeiro achar as raízes do polinômio y^{2}-4y+3. Calculo do discriminante:
\Delta = (-4)^{2}-4\cdot1\cdot3 = 16-12 = 4.
Raízes:
y = \frac{4\pm\sqrt{4}}{2} = \frac{4\pm2}{2}.
Logo as raízes são \,y_{1}=1 e \,y_{2}=3.

Passo 4

Interpretar a inequação com as raízes: o coeficiente de y^{2} é 1>0, então a parábola abre para cima. Para uma parábola que abre para cima, a região onde o polinômio é menor ou igual a zero é o intervalo entre as raízes (incluindo-as). Assim
y^{2}-4y+3 \leq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 1 \leq y \leq 3.
Lembrando a restrição y\geq 0, o intervalo [1,3] já satisfaz isso, então não precisamos excluir nada por aí.

Passo 5

Voltar para x usando y=|x|. Temos agora
1 \leq |x| \leq 3.
Explicar o significado: |x|\leq 3 significa -3 \leq x \leq 3. |x|\geq 1 significa x\leq -1 ou x\geq 1. A interseção dessas duas condições resulta em:
x\in[-3,-1]\quad\text{ou}\quad x\in[1,3].
Portanto o conjunto solução é \,[-3,-1]\cup[1,3]\,.

Passo 6

Comparando com as alternativas dadas, a solução coincide com a alternativa (A).

Resposta

(A) \,[-3,-1]\cup[1,3]\,

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