A respeito da função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=-x^{3}+4 x, é correto afirmar que f(x) é
A) par e não bijetiva.
B) par e não injetiva.
C) ímpar e não injetiva.
D) ímpar e bijetiva.

Passo 1

O enunciado dá a função f: \mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por f(x)=-x^{3}+4x e pede que se escolha, entre as alternativas A, B, C, D, qual descreve corretamente f. Em outras palavras, preciso decidir duas propriedades: a paridade (par ou ímpar) e se a função é injetiva ou bijetiva. As alternativas são:
A) par e não bijetiva.
B) par e não injetiva.
C) ímpar e não injetiva.
D) ímpar e bijetiva.

Passo 2

Definições rápidas e teste de paridade (com calma, sem pressa):
  • Uma função é par se, para todo x, vale f(-x)=f(x).
  • Uma função é ímpar se, para todo x, vale f(-x)=-f(x).
Vamos calcular f(-x) para a função dada:
f(-x) = -(-x)^{3} + 4(-x).
Agora simplifico termo a termo:
(-x)^{3} = -x^{3},\quad\text{então}\quad -(-x)^{3} = -(-x^{3}) = x^{3}.ã
E
4(-x) = -4x.
Logo
f(-x) = x^{3} - 4x.
Compare com -f(x):
-f(x) = -\bigl(-x^{3}+4x\bigr) = x^{3}-4x.
Portanto f(-x)= -f(x) para todo x. Conclusão: f é ímpar.

Passo 3

Agora injetividade: definição e estratégia didática.
  • Uma função é injetiva se valores distintos de entrada dão sempre valores distintos de saída: x_1\neq x_2 \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2).
    Uma maneira prática (e comum em prova) de testar injetividade para funções polinomiais é verificar monotonicidade: se uma função é estritamente monótona (estritamente crescente ou estritamente decrescente) em todo \mathbb{R}, então ela é injetiva. O contrário: se ela não é monotona em todo \mathbb{R}, então não é injetiva (pois uma curva que sobe e desce pode assumir o mesmo valor em pontos diferentes).
Para verificar monotonicidade uso a derivada f'(x), porque o sinal de f'(x) indica onde a função sobe ( f'>0) ou desce ( f'<0).
Calculo a derivada:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-x^{3}+4x\bigr) = -3x^{2}+4.
Podemos reescrever como
f'(x)=4-3x^{2}.

Passo 4

Análise dos pontos críticos e sinais de f'(x).
Resolvo f'(x)=0:
4-3x^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad 3x^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=\frac{4}{3}.
Portanto os pontos críticos são
x=\pm\frac{2}{\sqrt{3}}.
Agora vejo o sinal de f'(x):
  • Se |x|<\dfrac{2}{\sqrt{3}}, então x^{2}<\dfrac{4}{3} e 4-3x^{2}>0, logo f'(x)>0 — a função é crescente nesse intervalo \left(-\dfrac{2}{\sqrt{3}},\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right).
  • Se |x|>\dfrac{2}{\sqrt{3}}, então x^{2}>\dfrac{4}{3} e 4-3x^{2}<0, logo f'(x)<0 — a função é decrescente em (-\infty,-\dfrac{2}{\sqrt{3}}) e em (\dfrac{2}{\sqrt{3}},\infty).
Isso mostra que f decresce, depois cresce, depois decresce: não é monotônica em \mathbb{R}. Como consequência direta, f não é injetiva (função não-monótona pode assumir o mesmo valor em pontos diferentes).

Passo 5

Dar um exemplo intuitivo (para fixar): nos pontos críticos a função atinge um máximo local e um mínimo local. Posso calcular esses valores para ver que existe uma horizontal que corta a curva em pelo menos três pontos (o que dá múltiplas pré-imagens para um mesmo y). Calculo f nesses pontos críticos (só para intuir numericamente):
a=\frac{2}{\sqrt{3}},\qquad f\!\left(a\right) = -a^{3}+4a = \frac{16\sqrt{3}}{9}\approx 3{,}079.
E por simetria ímpar f(-a)=-f(a)\approx -3{,}079. Isso mostra que, por exemplo, a reta horizontal y=3 fica entre o mínimo e o máximo locais, então intersecta o gráfico em três pontos distintos — logo há pelo menos três valores x diferentes com a mesma imagem y=3. Isso confirma de forma concreta que f não é injetiva.

Passo 6

Sobre bijetividade: para ser bijetiva uma função precisa ser injetiva e sobrejetiva. f não é injetiva, então não pode ser bijetiva. (Se for de interesse: polinômio de grau ímpar e termo dominante -x^{3} tende a -\infty quando x\to+\infty e a +\infty quando x\to-\infty, sendo contínuo, sua imagem é \mathbb{R} — ou seja, é sobrejetiva — mas falta injetividade, portanto não é bijetiva.)

Resposta

C) ímpar e não injetiva.

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