A respeito da função
dada por
, é correto afirmar que
é
A) par e não bijetiva.
B) par e não injetiva.
C) ímpar e não injetiva.
D) ímpar e bijetiva.
A) par e não bijetiva.
B) par e não injetiva.
C) ímpar e não injetiva.
D) ímpar e bijetiva.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede que se escolha, entre as alternativas A, B, C, D, qual descreve corretamente
. Em outras palavras, preciso decidir duas propriedades: a paridade (par ou ímpar) e se a função é injetiva ou bijetiva. As alternativas são:
A) par e não bijetiva.
B) par e não injetiva.
C) ímpar e não injetiva.
D) ímpar e bijetiva.
A) par e não bijetiva.
B) par e não injetiva.
C) ímpar e não injetiva.
D) ímpar e bijetiva.
Passo 2
Definições rápidas e teste de paridade (com calma, sem pressa):
- Uma função é par se, para todo
, vale . - Uma função é ímpar se, para todo
, vale .
Vamos calcular
para a função dada:
Agora simplifico termo a termo:
E
Logo
Compare com
:
Portanto
para todo
. Conclusão:
é ímpar.
Passo 3
Agora injetividade: definição e estratégia didática.
- Uma função é injetiva se valores distintos de entrada dão sempre valores distintos de saída:
.
Uma maneira prática (e comum em prova) de testar injetividade para funções polinomiais é verificar monotonicidade: se uma função é estritamente monótona (estritamente crescente ou estritamente decrescente) em todo, então ela é injetiva. O contrário: se ela não é monotona em todo , então não é injetiva (pois uma curva que sobe e desce pode assumir o mesmo valor em pontos diferentes).
Para verificar monotonicidade uso a derivada
, porque o sinal de
indica onde a função sobe (
) ou desce (
).
Calculo a derivada:
Podemos reescrever como
Passo 4
Análise dos pontos críticos e sinais de
.
Resolvo :
Resolvo
Portanto os pontos críticos são
Agora vejo o sinal de
:
- Se
, então e , logo — a função é crescente nesse intervalo . - Se
, então e , logo — a função é decrescente em e em .
Isso mostra que
decresce, depois cresce, depois decresce: não é monotônica em
. Como consequência direta,
não é injetiva (função não-monótona pode assumir o mesmo valor em pontos diferentes).
Passo 5
Dar um exemplo intuitivo (para fixar): nos pontos críticos a função atinge um máximo local e um mínimo local. Posso calcular esses valores para ver que existe uma horizontal que corta a curva em pelo menos três pontos (o que dá múltiplas pré-imagens para um mesmo
). Calculo
nesses pontos críticos (só para intuir numericamente):
E por simetria ímpar
. Isso mostra que, por exemplo, a reta horizontal
fica entre o mínimo e o máximo locais, então intersecta o gráfico em três pontos distintos — logo há pelo menos três valores
diferentes com a mesma imagem
. Isso confirma de forma concreta que
não é injetiva.
Passo 6
Sobre bijetividade: para ser bijetiva uma função precisa ser injetiva e sobrejetiva.
não é injetiva, então não pode ser bijetiva. (Se for de interesse: polinômio de grau ímpar e termo dominante
tende a
quando
e a
quando
, sendo contínuo, sua imagem é
— ou seja, é sobrejetiva — mas falta injetividade, portanto não é bijetiva.)
Resposta
C) ímpar e não injetiva.