Se f(x)=a x^{2}+b x+\mathrm{c} denota uma função do segundo grau cujo gráfico contém o ponto P(-1,4) e tem as raízes x=-2 e x=3, então os valores de a, b e c são, respectivamente, iguais a
(A) 1,-1 \mathrm{e}-6.
(B) -(2 / 3),-(2 / 3) e 4 .
(C) 1 / 2,-(3 / 2) \mathrm{e}-2.
(D) -1,1 \mathrm{e} 6.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A função é f(x)=a x^{2}+b x+c.
  • O gráfico de f contém o ponto P(-1,4). Ou seja, f(-1)=4.
  • As raízes (zeros) de f são x=-2 e x=3.
    O que o problema pede: determinar os valores de a, b e c (e escolher a alternativa correta entre as dadas).

Passo 2

Ideia principal (fórmula que vamos usar): se uma função quadrática tem raízes r_{1} e r_{2}, então ela pode ser escrita na forma fatorada
f(x)=k(x-r_{1})(x-r_{2}),
onde k é o coeficiente líder (ou seja, k=a). Explicando por que: cada fator (x-r_{i}) zera a função em x=r_{i}; multiplicando por k ajusta-se o coeficiente de x^{2} para ser exatamente a.

Passo 3

Aplicando a ideia ao caso: as raízes são r_{1}=-2 e r_{2}=3. Logo podemos escrever
f(x)=a(x-(-2))(x-3)=a(x+2)(x-3).
Aqui a é o mesmo a do enunciado (o coeficiente de x^{2}) e ainda é desconhecido.

Passo 4

Usar o ponto P(-1,4) para achar a. Substituímos x=-1 e exigimos f(-1)=4:
f(-1)=a((-1)+2)((-1)-3)=a(1)(-4)=-4a.
Como f(-1)=4, temos
-4a=4.
Resolvendo para a:
a=\frac{4}{-4}=-1.

Passo 5

Agora que a=-1, escrevemos a função completamente:
f(x)=-1\cdot(x+2)(x-3).
Primeiro expandimos os fatores:
(x+2)(x-3)=x^{2}-3x+2x-6=x^{2}-x-6.
Multiplicando por -1:
f(x)=-x^{2}+x+6.
Comparando com f(x)=a x^{2}+b x+c, obtemos
a=-1,\qquad b=1,\qquad c=6.

Passo 6

Checagem alternativa (usando soma e produto das raízes): para uma quadrática a x^{2}+b x+c com raízes r_{1},r_{2} vale
r_{1}+r_{2}=-\frac{b}{a},\qquad r_{1}r_{2}=\frac{c}{a}.
Aqui r_{1}+r_{2}=-2+3=1. Com a=-1 isso dá -\dfrac{b}{-1}=1\Rightarrow b=1. E r_{1}r_{2}=-2\cdot3=-6. Com a=-1 isso dá \dfrac{c}{-1}=-6\Rightarrow c=6. Confere com o que já obtivemos.

Passo 7

Conclusão: os coeficientes são a=-1, b=1 e c=6. Isso corresponde à alternativa (D).

Resposta

(D) -1,\;1,\;6

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