Exiba uma base para cada um dos espaços vetoriais abaixo e então calcule sua dimensão.
W=X in M(2 times 2): A X=X, onde A=[ll1 & 2 0 & 1].

Passo 1

O enunciado define o subespaço
W = X in M(2times 2) mid A X = X,
once
A = 1 & 2[4pt]0 & 1
O conteúdo é Álgebra Linear: precisamos achar todas as matrizes X que satisfazem A X = X, encontrar uma forma paramétrica de X e extrair uma base e a dimensão de W.]

Passo 2

Seja um elemento genérico
X = x11 & x12[4pt]x21 & x22 in M(2times 2)
]

Passo 3

Calculamos o produto
A,X = 1 & 2[4pt]0 & 1 x11 & x12[4pt]x21 & x22 = x11+2x21 & x12+2x22[4pt] x21 & x22
]

Passo 4

Igualando A X = X entra as componentes, obtemos o sistema
x11 + 2x21 = x11,[4pt] x12 + 2x22 = x12,
o que implica
2x21=0, 2x22=0 Longrightarrow x21=0,;x22=0
]

Passo 5

Logo todo X in W tem a forma
X = x11 & x12[4pt]0 & 0 = x111 & 0[4pt]0 & 0 + x120 & 1[4pt]0 & 0
Dessa forma, uma base natural de W é
l E11 = 1 & 0[4pt]0 & 0,; E12 = 0 & 1[4pt]0 & 0 r
]

Passo 6

Como restam dois parâmetros livres ( x11 e x12), a dimensão de W é
dim W = 2

Resposta

Uma base de W é
1 & 00 & 0,; 0 & 10 & 0,
e dim W = 2.

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