Assinale a(s) alternativa(s) correta(s):
sumn=1^infty(-1)^n+1 (n+1)^3n^4+2 é absolutamente convergente

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma questão que pede para a gente verificar se a série infinita sumn=1^infty(-1)^n+1 (n+1)^3n^4+2 é absolutamente convergente. Isso está relacionado ao estudo de convergência de séries na matemática, mais especificamente à convergência absoluta. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma série ser absolutamente convergente e como aplicar testes de convergência para séries.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é convergência absoluta. Uma série sum an é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos sum |an| também converge. Isso é importante porque se uma série é absolutamente convergente, então ela também converge normalmente (convergência condicional).

Passo 3

Então, para verificar se nossa série original é absolutamente convergente, vamos considerar a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty | (-1)^n+1 (n+1)^3n^4+2 | = sumn=1^infty (n+1)^3n^4+2

Passo 4

Agora, precisamos analisar a série sumn=1^infty (n+1)^3n^4+2. Vamos simplificar a expressão para entender o comportamento quando n fica muito grande. Observamos que:
(n+1)^3n^4+2 approx n^3n^4 = 1n
Isso porque, para n grande, os termos de maior grau no numerador e denominador dominam a expressão.

Passo 5

Sabemos que a série sumn=1^infty 1n é a série harmônica, que é uma série divergente. Como (n+1)^3n^4+2 se comporta de maneira semelhante a 1n para n grande, podemos usar o Teste da Comparação para concluir sobre a convergência da nossa série original de valores absolutos.

Passo 6

Pelo Teste da Comparação, se sum bn diverge e an >= bn para todo n grande, então sum an também diverge. Neste caso, an = (n+1)^3n^4+2 e bn = 1n. Como an approx bn e sum bn diverge, concluímos que sum an também diverge.

Passo 7

Como a série dos valores absolutos sumn=1^infty (n+1)^3n^4+2 diverge, isso significa que a série original sumn=1^infty(-1)^n+1 (n+1)^3n^4+2 não é absolutamente convergente.

Resposta

Não, a série não é absolutamente convergente.

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