Assinale a(s) sequência(s) convergente(s):
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente assinalar se a sequência $ a_n = (-1)^n \frac{n{2}}{e{2 n}} $ é convergente. Estamos trabalhando com o conteúdo de Sequências e Limites, e para resolver isso, vamos precisar calcular o limite dessa sequência quando $ n $ tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a estrutura da sequência. Ela tem três partes principais:
- $ (-1)^n $: Esse termo faz com que a sequência alterne sinais entre positivo e negativo.
- $ n^{2} $: Isso representa um crescimento quadrático.
- $ e^{2n} $: Aqui, temos um crescimento exponencial.
No geral, queremos ver qual parte domina quando $ n $ fica muito grande.
Passo 3
Vamos analisar o comportamento de cada termo quando $ n $ vai para o infinito:
- O termo $ n^{2} $ cresce, mas de forma polinomial.
- O termo $ e^{2n} $ cresce de forma exponencial, que é muito mais rápida que o crescimento polinomial.
Isso significa que, à medida que $ n $ aumenta, $ e^{2n} $ cresce muito mais rápido que $ n^{2} $, fazendo com que a fração $ \frac{n{2}}{e{2n}} $ diminua e se aproxime de zero.
Passo 4
Além disso, o termo $ (-1)^n $ apenas alterna o sinal da sequência, mas não afeta o limite em termos de valor absoluto. Então, mesmo com a alternância de sinais, o valor absoluto da sequência está tendendo a zero.
Passo 5
Para formalizar, calculamos o limite:
Como o limite existe e é igual a zero, a sequência é convergente.
Resposta
A sequência $ a_n = (-1)^n \frac{n{2}}{e{2 n}} $ é convergente e seu limite é zero.