Assinale a(s) alternativa(s) correta(s):
sumn=1^infty(-1)^n+1 (n+1)^3n^4+2 é condicionalmente convergente.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para verificarmos se a série sumn=1^infty (-1)^n+1 (n+1)^3n^4 + 2 é condicionalmente convergente. Para isso, vamos usar conceitos de séries alternadas e critérios de convergência.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa uma série ser condicionalmente convergente. Isso quer dizer que a série original converge, mas a série dos valores absolutos dela não converge. Ou seja, a série alternada tem convergência, mas quando removemos os sinais alternados, ela diverge.

Passo 3

Vamos analisar a série original:
sumn=1^infty (-1)^n+1 (n+1)^3n^4 + 2
Essa é uma série alternada porque os termos mudam de sinal devido ao (-1)^n+1.

Passo 4

Para verificar a convergência da série alternada, usamos o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série alternada sum (-1)^n an converge se:
  1. Os termos an são decrescentes: an+1 <= an.
  2. O limite dos termos é zero: limn to infty an = 0.

Passo 5

Vamos verificar essas condições para an = (n+1)^3n^4 + 2:
  1. Limite dos termos:
limn to infty (n+1)^3n^4 + 2 = limn to infty n^3 + 3n^2 + 3n + 1n^4 + 2 = 0
Como o grau do denominador é maior que o do numerador, o limite é zero.
  1. Termos decrescentes:
    Para n grande, an diminui porque o denominador cresce mais rápido que o numerador. Então, an+1 <= an para n suficientemente grande.

Passo 6

Como ambas as condições do Teste da Série Alternada são atendidas, concluímos que a série original converge.

Passo 7

Agora, precisamos verificar a convergência absoluta para determinar se a convergência é condicional ou absoluta. Consideramos a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty | (-1)^n+1 (n+1)^3n^4 + 2 | = sumn=1^infty (n+1)^3n^4 + 2

Passo 8

Vamos comparar essa série com a série sum 1n (série harmônica). Observamos que para n grande:
(n+1)^3n^4 + 2 approx n^3n^4 = 1n
Como a série harmônica sum 1n diverge, pela comparação, a série dos valores absolutos também diverge.

Resposta

Portanto, a série sumn=1^infty (-1)^n+1 (n+1)^3n^4 + 2 é condicionalmente convergente.

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