Assinale a(s) alternativa(s) correta(s): é condicionalmente convergente.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para verificarmos se a série é condicionalmente convergente. Para isso, vamos usar conceitos de séries alternadas e critérios de convergência.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa uma série ser condicionalmente convergente. Isso quer dizer que a série original converge, mas a série dos valores absolutos dela não converge. Ou seja, a série alternada tem convergência, mas quando removemos os sinais alternados, ela diverge.
Passo 3
Vamos analisar a série original:
Essa é uma série alternada porque os termos mudam de sinal devido ao .
Passo 4
Para verificar a convergência da série alternada, usamos o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série alternada converge se:
Os termos são decrescentes: .
O limite dos termos é zero: .
Passo 5
Vamos verificar essas condições para :
Limite dos termos:
Como o grau do denominador é maior que o do numerador, o limite é zero.
Termos decrescentes:
Para grande, diminui porque o denominador cresce mais rápido que o numerador. Então, para suficientemente grande.
Passo 6
Como ambas as condições do Teste da Série Alternada são atendidas, concluímos que a série original converge.
Passo 7
Agora, precisamos verificar a convergência absoluta para determinar se a convergência é condicional ou absoluta. Consideramos a série dos valores absolutos:
Passo 8
Vamos comparar essa série com a série sum 1n (série harmônica). Observamos que para n grande:
(n+1)^3n^4 + 2 approx n^3n^4 = 1n
Como a série harmônica sum 1ndiverge, pela comparação, a série dos valores absolutos também diverge.
Resposta
Portanto, a série sumn=1^infty (-1)^n+1 (n+1)^3n^4 + 2 é condicionalmente convergente.