Assinale a(s) alternativa(s) correta(s):
A série
converge.
A série
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte série para analisar se ela converge ou não:
Nesta questão, estamos lidando com uma série alternada porque o termo
faz com que os sinais dos termos mudem a cada passo. Para resolver isso, vamos precisar entender o Teste da Série Alternada e também analisar o comportamento geral dos termos da série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série alternada. Uma série alternada é aquela em que os sinais dos termos são alternados entre positivo e negativo. No nosso caso,
faz exatamente isso: para
ímpar, o termo é positivo, e para
par, é negativo.
Passo 3
Agora, para verificar a convergência de uma série alternada, usamos o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série da forma
converge se duas condições forem verdadeiras:
- Os termos
são decrescentes: para todo grande o suficiente. - O limite dos termos
tende a zero: .
Vamos aplicar isso à nossa série.
Passo 4
Primeiro, vamos identificar
na nossa série:
Vamos verificar se
é decrescente e se o limite de
quando
tende ao infinito é zero.
Passo 5
Verificando o limite de
:
Vamos calcular
.
Quando
é muito grande, os termos de maior grau dominam. Então,
se comporta como
e
se comporta como
.
Portanto:
Então, o limite de
é zero.
Passo 6
Verificando se
é decrescente:
Precisamos mostrar que
para todo
grande.
Vamos analisar a função:
À medida que
aumenta, o numerador cresce como
e o denominador cresce como
. Isso significa que, embora ambos cresçam, o denominador cresce mais rápido, fazendo com que
diminua à medida que
aumenta.
Portanto,
é uma sequência decrescente.
Passo 7
Como verificamos que:
-
-
é decrescente para todo grande
Podemos concluir, pelo Teste da Série Alternada, que a série:
converge.
Resposta
A série
converge.