Assinale a(s) alternativa(s) correta(s):
A série sumn=1^infty(-1)^n+1 (n+1)^3n^4+2 converge.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte série para analisar se ela converge ou não:
sumn=1^infty (-1)^n+1 (n+1)^3n^4 + 2
Nesta questão, estamos lidando com uma série alternada porque o termo (-1)^n+1 faz com que os sinais dos termos mudem a cada passo. Para resolver isso, vamos precisar entender o Teste da Série Alternada e também analisar o comportamento geral dos termos da série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série alternada. Uma série alternada é aquela em que os sinais dos termos são alternados entre positivo e negativo. No nosso caso, (-1)^n+1 faz exatamente isso: para n ímpar, o termo é positivo, e para n par, é negativo.

Passo 3

Agora, para verificar a convergência de uma série alternada, usamos o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série da forma sum (-1)^n+1 bn converge se duas condições forem verdadeiras:
  1. Os termos bn são decrescentes: bn+1 <= bn para todo n grande o suficiente.
  2. O limite dos termos bn tende a zero: limn to infty bn = 0.
Vamos aplicar isso à nossa série.

Passo 4

Primeiro, vamos identificar bn na nossa série:
bn = (n+1)^3n^4 + 2
Vamos verificar se bn é decrescente e se o limite de bn quando n tende ao infinito é zero.

Passo 5

Verificando o limite de bn:
Vamos calcular limn to infty (n+1)^3n^4 + 2.
Quando n é muito grande, os termos de maior grau dominam. Então, (n+1)^3 se comporta como n^3 e n^4 + 2 se comporta como n^4.
Portanto:
limn to infty n^3n^4 = limn to infty 1n = 0
Então, o limite de bn é zero.

Passo 6

Verificando se bn é decrescente:
Precisamos mostrar que bn+1 <= bn para todo n grande.
Vamos analisar a função:
bn = (n+1)^3n^4 + 2
À medida que n aumenta, o numerador cresce como n^3 e o denominador cresce como n^4. Isso significa que, embora ambos cresçam, o denominador cresce mais rápido, fazendo com que bn diminua à medida que n aumenta.
Portanto, bn é uma sequência decrescente.

Passo 7

Como verificamos que:
  1. limn to infty bn = 0
  2. bn é decrescente para todo n grande
Podemos concluir, pelo Teste da Série Alternada, que a série:
sumn=1^infty (-1)^n+1 (n+1)^3n^4 + 2
converge.

Resposta

A série sumn=1^infty (-1)^n+1 (n+1)^3n^4 + 2 converge.

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