Assinale a(s) alternativa(s) correta(s):
A sequência
converge.
A sequência
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma sequência definida por
e precisamos descobrir se essa sequência converge, ou seja, se ela tem um limite quando
cresce infinitamente. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e analisar o comportamento da expressão conforme
aumenta.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a expressão da sequência:
Aqui, temos um termo que alterna de sinal devido a
e uma fração que envolve potências de
.
Passo 3
Vamos analisar o termo que multiplica
:
Quando
fica bem grande, o
no numerador e o
no denominador se tornam menos importantes comparados às potências de
. Então, podemos simplificar para:
Isso nos mostra que essa parte da expressão tende a zero conforme
cresce.
Passo 4
Agora, vamos considerar o fator
. Esse termo faz a sequência oscilar entre positivo e negativo:
- Se
for par, . - Se
for ímpar, .
No entanto, como vimos no passo anterior, a magnitude dessa oscilação está diminuindo e tendendo a zero.
Passo 5
Combinando as duas observações:
Como
tende a zero quando
tende ao infinito, multiplicar por
não altera esse comportamento, apenas inverte o sinal, mas a magnitude ainda vai para zero.
Passo 6
Portanto, concluímos que:
A sequência converge para zero.
Resposta
A sequência
converge para 0.