Assinale a(s) alternativa(s) correta(s):
A sequência an=(-1)^n+1 (n+1)^3n^4+2 converge.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma sequência definida por an = (-1)^n+1 (n+1)^3n^4 + 2 e precisamos descobrir se essa sequência converge, ou seja, se ela tem um limite quando n cresce infinitamente. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e analisar o comportamento da expressão conforme n aumenta.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a expressão da sequência:
an = (-1)^n+1 (n+1)^3n^4 + 2
Aqui, temos um termo que alterna de sinal devido a (-1)^n+1 e uma fração que envolve potências de n .

Passo 3

Vamos analisar o termo que multiplica (-1)^n+1 :
(n+1)^3n^4 + 2
Quando n fica bem grande, o +1 no numerador e o +2 no denominador se tornam menos importantes comparados às potências de n . Então, podemos simplificar para:
n^3n^4 = 1n
Isso nos mostra que essa parte da expressão tende a zero conforme n cresce.

Passo 4

Agora, vamos considerar o fator (-1)^n+1 . Esse termo faz a sequência oscilar entre positivo e negativo:
  • Se n for par, (-1)^n+1 = -1 .
  • Se n for ímpar, (-1)^n+1 = 1 .
No entanto, como vimos no passo anterior, a magnitude dessa oscilação está diminuindo e tendendo a zero.

Passo 5

Combinando as duas observações:
an = (-1)^n+1 cdot 1n
Como 1n tende a zero quando n tende ao infinito, multiplicar por (-1)^n+1 não altera esse comportamento, apenas inverte o sinal, mas a magnitude ainda vai para zero.

Passo 6

Portanto, concluímos que:
limn to infty an = 0
A sequência converge para zero.

Resposta

A sequência an converge para 0.

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