A soma da série sumn=1^infty 1(n+1)(n+3) é 512.
Verdadeiro
Falso

Passo 1

Então, temos a afirmação de que a soma da série sumn=1^infty 1(n+1)(n+3) é igual a 512. Vamos analisar isso usando conceitos de séries infinitas e frações parciais para verificar se a afirmação é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série 1(n+1)(n+3) usando frações parciais. Isso significa que vamos expressar 1(n+1)(n+3) como a soma de duas frações simples:
1(n+1)(n+3) = An+1 + Bn+3
Nosso objetivo é encontrar os valores de A e B.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados da equação por (n+1)(n+3) para eliminar os denominadores, temos:
1 = A(n+3) + B(n+1)
Agora, vamos escolher valores de n que facilitem a resolução para A e B.

Passo 4

Escolhemos n = -3:
1 = A(0) + B(-2) Rightarrow 1 = -2B Rightarrow B = -12
Agora, escolhemos n = -1:
1 = A(2) + B(0) Rightarrow 1 = 2A Rightarrow A = 12

Passo 5

Então, substituindo A e B na expressão original:
1(n+1)(n+3) = 1/2n+1 - 1/2n+3
Agora, reescrevemos a série usando essa decomposição:
sumn=1^infty 1(n+1)(n+3) = 12 sumn=1^infty ( 1n+1 - 1n+3 )

Passo 6

Observamos que a série resultante é telescópica, o que significa que muitos termos se cancelam quando somamos sequência após sequência. Vamos escrever os primeiros termos para ver o padrão:
12 ( ( 12 - 14 ) + ( 13 - 15 ) + ( 14 - 16 ) + cdots )
Notamos que 14, 15, etc., vão se cancelando conforme avançamos na soma.

Passo 7

Após o cancelamento, restam apenas os primeiros termos que não têm complementos para se anular. Assim, a soma total da série é:
12 ( 12 + 13 ) = 12 ( 36 + 26 ) = 12 times 56 = 512

Resposta

Verdadeiro.

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