A soma da série
é
.
Verdadeiro
Falso
Verdadeiro
Falso
Passo 1
Então, temos a afirmação de que a soma da série
é igual a
. Vamos analisar isso usando conceitos de séries infinitas e frações parciais para verificar se a afirmação é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série
usando frações parciais. Isso significa que vamos expressar
como a soma de duas frações simples:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
e
.
Passo 3
Multiplicando ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores, temos:
Agora, vamos escolher valores de
que facilitem a resolução para
e
.
Passo 4
Escolhemos
:
Agora, escolhemos
:
Passo 5
Então, substituindo
e
na expressão original:
Agora, reescrevemos a série usando essa decomposição:
Passo 6
Observamos que a série resultante é telescópica, o que significa que muitos termos se cancelam quando somamos sequência após sequência. Vamos escrever os primeiros termos para ver o padrão:
Notamos que
,
, etc., vão se cancelando conforme avançamos na soma.
Passo 7
Após o cancelamento, restam apenas os primeiros termos que não têm complementos para se anular. Assim, a soma total da série é:
Resposta
Verdadeiro.