Assinale a(s) alternativa(s) correta(s):
a. A série sumn=1^infty(-1)^n+1 (n+1)^3n^4+2 converge.
b. sumn=1^infty(-1)^n+1 (n+1)^3n^4+2 é absolutamente convergente.
c. sumn=1^infty(-1)^n+1 (n+1)^3n^4+2 é condicionalmente convergente.
d. A sequência an=(-1)^n+1 (n+1)^3n^4+2 converge.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem uma série infinita com termos que alternam sinais, e precisa saber se ela converge, se ela converge absolutamente ou condicionalmente, e se a sequência dos termos dela converge. Vamos precisar usar conceitos de séries alternadas, teste da convergência e entender a diferença entre convergência absoluta e condicional.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a série dada:
sumn=1^infty(-1)^n+1 (n+1)^3n^4+2
Essa é uma série alternada porque os termos mudam de sinal conforme n aumenta.

Passo 3

Para verificar se essa série converge, podemos usar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série desse tipo converge se:
  1. Os termos bn = (n+1)^3n^4+2 são positivos.
  2. bn é uma sequência decrescente.
  3. limn to infty bn = 0 .

Passo 4

Vamos verificar cada condição:
  1. Positividade: (n+1)^3n^4+2 é positivo para todo n natural.
  2. Decrescimento: Vamos ver se bn+1 < bn :
(n+2)^3(n+1)^4+2 < (n+1)^3n^4+2
Isso é verdade para n grande, pois o denominador cresce mais rápido que o numerador.
3. Limite:
limn to infty (n+1)^3n^4+2 = 0
Porque o grau do denominador é maior que o do numerador.
Portanto, todas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, então a série converge.

Passo 5

Agora, vamos verificar se a série converge absolutamente. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty | (-1)^n+1 (n+1)^3n^4+2 | = sumn=1^infty (n+1)^3n^4+2
Para verificar a convergência dessa série, podemos comparar com uma série p:
(n+1)^3n^4+2 approx n^3n^4 = 1n
Sabemos que a série sum 1n é divergente (série harmônica). Como nossa série é comparável a ela e é maior ou igual, a série dos valores absolutos também diverge. Assim, a série original não converge absolutamente.

Passo 6

Como a série converge, mas não converge absolutamente, concluímos que ela converge condicionalmente.

Passo 7

Por fim, vamos verificar a convergência da sequência dos termos:
an=(-1)^n+1 (n+1)^3n^4+2
Calculando o limite quando n vai para infinito:
limn to infty an = limn to infty (-1)^n+1 (n+1)^3n^4+2 = 0
Então, a sequência an converge para 0.

Resposta

As alternativas corretas são a, c e d.

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