Assinale a(s) alternativa(s) correta(s):
a. A série converge.
b. é absolutamente convergente.
c. é condicionalmente convergente.
d. A sequência converge.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem uma série infinita com termos que alternam sinais, e precisa saber se ela converge, se ela converge absolutamente ou condicionalmente, e se a sequência dos termos dela converge. Vamos precisar usar conceitos de séries alternadas, teste da convergência e entender a diferença entre convergência absoluta e condicional.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a série dada:
Essa é uma série alternada porque os termos mudam de sinal conforme aumenta.
Passo 3
Para verificar se essa série converge, podemos usar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série desse tipo converge se:
Os termos são positivos.
é uma sequência decrescente.
.
Passo 4
Vamos verificar cada condição:
Positividade: é positivo para todo natural.
Decrescimento: Vamos ver se :
Isso é verdade para grande, pois o denominador cresce mais rápido que o numerador.
3. Limite:
Porque o grau do denominador é maior que o do numerador.
Portanto, todas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, então a série converge.
Passo 5
Agora, vamos verificar se a série converge absolutamente. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos:
Para verificar a convergência dessa série, podemos comparar com uma série p:
(n+1)^3n^4+2 approx n^3n^4 = 1n
Sabemos que a série sum 1n é divergente (série harmônica). Como nossa série é comparável a ela e é maior ou igual, a série dos valores absolutos também diverge. Assim, a série original não converge absolutamente.
Passo 6
Como a série converge, mas não converge absolutamente, concluímos que ela converge condicionalmente.
Passo 7
Por fim, vamos verificar a convergência da sequência dos termos:
an=(-1)^n+1 (n+1)^3n^4+2
Calculando o limite quando n vai para infinito:
limn to infty an = limn to infty (-1)^n+1 (n+1)^3n^4+2 = 0