Sendo
, encontre a solução geral da equação:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. O que estamos vendo aqui são equações diferenciais de segunda ordem, que envolvem derivadas da função
em relação a
. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação, que é a combinação da solução da equação homogênea e uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja,
. Para isso, assumimos que a solução tem a forma
, onde
é um número que precisamos descobrir. Substituindo na equação homogênea:
Podemos dividir ambos os lados por
(que nunca é zero) e ficamos com a equação característica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica
. Fatorando, temos:
Assim, as raízes são
e
. Isso significa que as soluções da equação homogênea são:
onde
e
são constantes que determinaremos com condições iniciais, se houver.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa
. Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau, vamos tentar uma solução particular na forma de um polinômio do mesmo grau:
onde
e
são constantes que vamos encontrar.
Passo 5
Para encontrar
e
, vamos calcular as derivadas de
:
Substituindo
,
e
na equação original:
Isso nos dá uma equação inconsistente, já que o lado esquerdo é constante e o lado direito depende de
. Isso significa que precisamos ajustar nossa suposição para a solução particular.
Passo 6
Como a solução tentativa
não funcionou, vamos tentar aumentar o grau do polinômio. Vamos assumir:
Mas já vimos que isso não resolve. Então, vamos tentar:
E verificar novamente, mas parece que precisamos de outra abordagem. Na verdade, como a solução homogênea não contém termos que dançam com
, nossa solução particular pode ser ajustada para:
Substituindo nessa abordagem, ainda não funciona. Então, precisamos considerar uma forma diferente, talvez incluindo um termo quadrático:
Passo 7
Vamos tentar
. Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Agora, igualando os coeficientes dos termos correspondentes:
Para
:
Para os termos constantes:
Então, a solução particular é:
Como
pode ser absorvido na solução homogênea, podemos simplificar para:
Passo 8
Agora, juntamos a solução homogênea
com a solução particular
:
Resposta
A solução geral da equação
é: