Sendo y=y(x), encontre a solução geral da equação:
y^prime prime+y^prime=4 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: y'' + y' = 4x . O que estamos vendo aqui são equações diferenciais de segunda ordem, que envolvem derivadas da função y em relação a x . Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação, que é a combinação da solução da equação homogênea e uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, y'' + y' = 0 . Para isso, assumimos que a solução tem a forma y = e^rx , onde r é um número que precisamos descobrir. Substituindo na equação homogênea:
r^2 e^rx + r e^rx = 0
Podemos dividir ambos os lados por e^rx (que nunca é zero) e ficamos com a equação característica:
r^2 + r = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica r^2 + r = 0 . Fatorando, temos:
r(r + 1) = 0
Assim, as raízes são r = 0 e r = -1 . Isso significa que as soluções da equação homogênea são:
yh = C1 e^0x + C2 e^-x = C1 + C2 e^-x
onde C1 e C2 são constantes que determinaremos com condições iniciais, se houver.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa y'' + y' = 4x . Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau, vamos tentar uma solução particular na forma de um polinômio do mesmo grau:
yp = Ax + B
onde A e B são constantes que vamos encontrar.

Passo 5

Para encontrar A e B , vamos calcular as derivadas de yp :
yp' = A
yp'' = 0
Substituindo yp , yp' e yp'' na equação original:
0 + A = 4x
Isso nos dá uma equação inconsistente, já que o lado esquerdo é constante e o lado direito depende de x . Isso significa que precisamos ajustar nossa suposição para a solução particular.

Passo 6

Como a solução tentativa yp = Ax + B não funcionou, vamos tentar aumentar o grau do polinômio. Vamos assumir:
yp = Ax + B
Mas já vimos que isso não resolve. Então, vamos tentar:
yp = Ax + B
E verificar novamente, mas parece que precisamos de outra abordagem. Na verdade, como a solução homogênea não contém termos que dançam com x , nossa solução particular pode ser ajustada para:
yp = Cx + D
Substituindo nessa abordagem, ainda não funciona. Então, precisamos considerar uma forma diferente, talvez incluindo um termo quadrático:
yp = Ax^2 + Bx + C

Passo 7

Vamos tentar yp = Ax^2 + Bx + C . Calculando as derivadas:
yp' = 2Ax + B
yp'' = 2A
Substituindo na equação original:
2A + (2Ax + B) = 4x
Agora, igualando os coeficientes dos termos correspondentes:
Para x :
2A = 4 implies A = 2
Para os termos constantes:
2A + B = 0 implies 2(2) + B = 0 implies B = -4
Então, a solução particular é:
yp = 2x^2 - 4x + C
Como C pode ser absorvido na solução homogênea, podemos simplificar para:
yp = 2x^2 - 4x

Passo 8

Agora, juntamos a solução homogênea yh = C1 + C2 e^-x com a solução particular yp = 2x^2 - 4x :
y = yh + yp = C1 + C2 e^-x + 2x^2 - 4x

Resposta

A solução geral da equação y'' + y' = 4x é:
y(x) = C1 + C2 e^-x + 2x^2 - 4x

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